发布时间 : 星期六 文章【五年高考真题】2019届高考理科数学复习 第九章 第三节 椭圆及其性质更新完毕开始阅读
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5答案
7
6．(2011·新课标全国，14)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2
在x轴上，离心率e＝
2
.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么2
C的方程为________．
x2y2
解析 设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab因为AB过F1且A、B在椭圆上，
则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4. 又离心率e＝＝ca2， 2
∴c＝22，∴b＝22， ∴椭圆的方程为＋＝1.
168答案
＋＝1 168
x2y2
x2y2
x2y2
7．(2015·陕西，20)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的半焦距为
abc，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率；
522
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)＋(y－1)＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆
2
12
E的方程．
解 (1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0， 则原点O到该直线的距离d＝
bcbc＝， b2＋c2a1c322
由d＝c，得a＝2b＝2a－c，解得离心率＝. 2a2(2)法一 由(1)知，椭圆E的方程为x＋4y＝4b.① 依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝10，
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k)x＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)－4b＝0，
8k（2k＋1）4（2k＋1）－4b设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝， 22
1＋4k1＋4k8k（2k＋1）1
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝， 2
1＋4k2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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从而x1x2＝8－2b，
2
于是|AB|＝＝
?1?1＋??|x1－x2| ?2?
2
522
（x1＋x2）－4x1x2＝10（b－2）， 2
2
由|AB|＝10，得10（b－2）＝10， 解得b＝3，
故椭圆E的方程为＋＝1.
123
法二 由(1)知，椭圆E的方程为x＋4y＝4b，② 依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝10， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋4y1＝4b，x2＋4y2＝4b，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0， 易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2， 所以AB的斜率kAB＝
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
y1－y21
＝， x1－x22
122
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x＋4x＋8－2b＝0，
2所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b，
2
于是|AB|＝＝
?1?1＋??|x1－x2| ?2?
2
522
（x1＋x2）－4x1x2＝10（b－2）. 2
22
由|AB|＝10，得10（b－2）＝10，解得b＝3， 故椭圆E的方程为＋＝1.
123
x2y2
x2y22
8．(2015·北京，19)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点
ab2A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点
Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
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b＝1，??c2
解 (1)由题意得?＝，解得a＝2，
a2??a＝b＋c2
2
2
2
故椭圆C的方程为＋y＝1. 2设M(xM，0)．
因为m≠0，所以－1＜n＜1. 直线PA的方程为y－1＝所以xM＝
x2
2
n－1
x. mm1－n，即M?
?m，0?.
?
?1－n?
(2)因为点B与点A关于x轴对称， 所以B(m，－n)． 设N(xN，0)，则xN＝. 1＋n|OM||OQ|
“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，|OQ||ON|即yQ满足yQ＝|xM||xN|. 因为xM＝
2
2
m，xN＝，＋n＝1. 1－n1＋n2
mmm2
2
所以yQ＝|xM||xN|＝2＝2.
1－n所以yQ＝2或yQ＝－2.
故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，2)或 (0，－2)．
m2
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