发布时间 : 星期五 文章常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题 第二章答案更新完毕开始阅读
某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．
解：设B的运动轨迹为y?y(x),由题意及导数的几何意义，则有
dyydx??b2?y2，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足y(0)?b的解．
解之得：x?1blnb?b2?y22?b22b?b2?y?y2．
5. 设微分方程dydx?f(y)（2.27），其中f(y) 在y?a的某邻域（例如，区间
y?a??）
内连续，而且f(y)?0?y?a，则在直线y?a上的每一点，方
程（2.27）的解局部唯一，当且仅当瑕积分?a??dyaf(y)??（发散）
． 证明：（?）
首先经过域R1：???x???, a???y?a 和域R2：???x???, a?y?a??
内任一点（x0,y0）恰有方程（2.13）的一条积分曲线， 它由下式确定
?ydyyf(y)?x?x（*） 00. 这些积分曲线彼此不相交. 其次，域R1（R2）内的所有 积分曲线?dyf(y)?x?c都可由其中一条，比如?dyf(y)?x?c0 沿着 x 轴的方向平移而得到。因此只需详细考虑经过R1内某一点
(x0,a??)的积分曲线， 它由（*）式确定.
若
?adyadya??f(y)收敛，即存在 x?x1 ，使得?a??f(y)?x1?x0, 即所讨论的积分曲线当 x?x1 时达到直线y?a上点（x1,a）. 由（*）式易看出，
所论积分曲线在（x1,a）处与y?a 相切，在这种情形下，经过此直线上的
一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以?adya??f(y)发散.
(?)
若积分
?adya??f(y)发散，此时由（*）式易看出，所论的经过(x0,a??)的积分
曲线，不可能达到直线 y?a上，而以直线y?a为渐近线，又注意到y?a也
是（２.13）的积分曲线，所以（2.13）过(x0,a??)的解是唯一的. 注：对于R2内某点（x0,a??）完全可类似地证明.
6. 作出下列微分方程积分曲线族的大致图形． （１）．
dydx?y；
（２）．
dy?ylny?0dx??y?0y?0
习 题 ２-3
１．
求解微分方程：
（１）
dy?2y?xe?xdx; 解：p(x)?2, q(x)?xe?x，
由公式得：y?e?2x(c??xe?xe2xdx)?ce?2x?xe?x?e?x， 原方程的解为：y?ce?2x?xe?x?e?x．
（２）
dydx?ytgx?sin2x； 解：p(x)?tgx, q(x)?sin2x，
?p(x)dx??tgxdx??sinxcosxdx???d(cosx)cosxdx??lncosx?c， 则有
y?elncosx(c??sin2xe?lncosxdx)?cosx(c??sin2xcosxdx)?cosx(c?2cosx)?ccosx?2cos2x
原方程的解为：y?ccosx?2cos2x．
（３）xdydx?2y?sinx, y(?)?1?； 解：原方程即为：dydx?2xy?sinxx，则p(x)?2sinxx,q(x)?x， ?p(x)dx??22xdx?lnx?c， 则有
y?e?lnx2(c??sinxxelnx2)
?1x2(c??xsinxdx) ?1x2(c?xcosx?sinx) 因为y(?)?1?， 所以c?0．
原方程满足初值问题的解为：y??1xcosx?1x2sinxdydx?11?x2y?1?x，y(0)?1； 12 解：p(x)?11?x2,q(x)?1?x, ?p(x)dx?lnx?1x?1 11 则y?elnx?12lnx?12x?1(c??(1?x)ex?1dx)
??x?1x?1(c??x2?1dx)x?1 ???
?x?1??1?x(c??1?x2dx)x?1 要求满足初值问题y(0)?1的解 只需求??x?1?x(c??1?x2dx)x?1
?1 ?x?11?x(c?12arcsixn?12x1?x2) 代入初值得c?1
所以满足初值问题的解为y?x?11?x(1?12arcsixn?12x1?x2). 2. 将下列方程化为线性微分方程：
dyx2?y2 （１）dx?2y； 解：令y2?z， 则原方程化为：
dzdx?z?x2． （２）
dyydx?x?y2； 解：由原方程得：，dxx?y2dx1dy?y, 即 dy?yx?y ． （３）3xy2dydx?y3?x3?0； 解：令y3?z， 则原方程化为：
dzdx??1xz?x2． （４）
．