发布时间 : 星期五 文章高考数学二轮复习专题1.7排列组合、二项式定理教学案理更新完毕开始阅读
k?1mmm?1mmm?1k 排列:An；组合:, (m?n,m,n?N*)nC?A?mAC?C?CkC??1nnn?1nnn?1. n 3. 二项式定理
?a?b?n0n1n?1?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb?n?N*?，这个公式所表示的定理叫做二项式定
r理，右边的多项式叫做?a?b?的二项展开式，其中的系数Cn (r?0,1,2,3,中的Cnarn?rn,n)叫做二项式系数．式
rn?rrbr叫做二项展开式的通项，用Tr?1表示，即展开式的第r?1项；Tr?1?Cnab.
4．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n?1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cn，Cn. 5. 二项式系数的性质
0n1n?1(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn?Cn，Cn?Cn，
rmn?m，Cn?Cn.
01n?1n(2)增减性与最大值：二项式系数Cn，当r?n?1n?1时，二项式系数是递增的；由对称性知：当r?22n2nn?12n时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项C取得最大值．当n是奇数时，中间两项C 和
Cn?12n相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
?a?b?n01n的展开式的各个二项式系数的和等于2，即Cn?Cn?r?Cn?n?Cn?2n，二项展开式中，偶135?Cn?Cn?Cn?024数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn?Cn?Cn??2n?1
二．高频考点突破
考点1 分类计数原理与分步计数原理
【例1】将3本相同的诗集，2本相同的小说全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ） A．24种 B．28种 C．32种 D．36种
【分析】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
【规律方法】1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．
2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法． 3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：
(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件． (3)对完成各步的方法数要准确确定．
4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化． (4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．
5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
6. 分类加法计数原理的两个条件：
(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理． 分步乘法计数原理的两个条件：
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数． 【举一反三】【2018江西南昌摸底】某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有
A. 120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种 【答案】A
考点2 排列、组合及性质
23n【例2】化简:Cn+2Cn+3Cn+…+nCn= ．
012nnkk?1分析：通过组合数性质kCn=nCn然后利用性质Cn?Cn?Cn???Cn?2?1将原式转化成相同的系数，n?1可化简原式得到n2.
1解析：
k1230k?1n?1=nCn?1，?原式=nCn?1+nCn?1+nCn?1+nCn?1+…+nCn?1= kCnn?11230n?1． n(Cn?1+Cn?1+Cn?1+Cn?1+…+Cn?1)=n2【规律方法】通过观察式子的结构，利用排列数和组合数的相关性质及二项式系数的相关性质以含有排列、组合数结构的代数式进行化简，有时需要拆分、拼凑项来进行结构重组.
012?Cn【举一反三】设Sn?Cn?1?Cn?2?*m?(?1)mCn?m，m,n?N且m?n，其中当n为偶数时，m?n；当n2为奇数时，m?n?1． 2（1）证明：当n?N*，n≥2时，Sn?1?Sn?Sn?1； （2）记S?11110123C2014?C2013?C2012?C2011?2014201320122011?11007，求S的值． C10071007考点3 排列、组合的应用
【例3】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40种 B．60种 C．100种 D．120种 【答案】B
【解析】先排星期五,从5人中选2人有C5,种,再从剩下的3人中选2人参加星期六、星期日,有A3种,故
22共有C5A3?10?6?60种,选B.
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