发布时间 : 星期三 文章计数原理导学案更新完毕开始阅读
中学数学资源网 高二数学◆选修2－3◆导学案 编写：李晓利 校审：李志敏
复习1：写出二项式定理的公式： 相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 ② 若a?bn的展开式中，第三项的二项式系数与
r⑴ 公式中Cn叫做 ， 第五项的二项式系数相等，则n＝ .
??二项展开式的通项公式是 ，用符号
表示 ，通项为展开式的第 项. 反思：为什么二项式系数有对称性？
⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项⑵ 在(a?b)n展开式中，共有 项，各项次
数都为 ，a的次数规律是 ， 式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二b的次数规律是 ，各项系数项式系数逐渐 .
当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，分别是 .
它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项10?2?和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，?复习2：求??x?? 展开式中的第4项二项
x?二项式系数都取得最大值. ? 式系数和第4项的系数.
试试：(a?b)n的各二项式系数的最大值是 ⑶ 各二项式系数的和： n在展开式中，若a?b?1，则可得到 (a?b)二、新课导学
01rnCn?Cn?????Cn?????Cn? ※ 学习探究
探究任务一：杨辉三角 即 C1?C2?????Cr?????Cn? 问题1：在(a?b)n展开式中，当n＝1，2，3，?时，各项的二项式系数有何规律？
nnnn10?a?b?1 例1求?1?2x?的展开式中系数最大的项． ?a?b?2
?a?b?3
4 ?a?b?
?a?b?5 11变式：在二项式(x-1)的展开式中, ⑴ 求二项
?a?b?6 式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和
※ 典型例题
新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是
探究任务二 二项式系数的性质
r问题2：设函数f?r??Cn，函数
的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n＝6为例）
新知2：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是r?
试试：
① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数
17 6n. 2最大的项.
小结：在(a?b)n展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.
n例2 证明：在(a?b)展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
13511变式：⑴ 化简:C11?C11?C11?????C11 ;
⑵ 求和：
012n. Cn?2Cn?22Cn?????2nCn
2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 计数原理
小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.
※ 动手试试
练1. ① 在(1+x)的展开式中，二项式系数最大的
是第 项为 ；（用符号表示即可） ② 在(1-x)的展开式中，二项式系数最大的是 第 项为 . （用符号表示即可）
1110a1?a2???a9＝ ；
01nCn?Cn?????Cn5. 化简：0? 1n?1Cn?1?Cn?1?????Cn?1 课后作业 ?x3???1. ⑴ 求
?3?x?展开式的中间一项； ??12 ⑵ 求xy?yx展开式的中间两项.
727练2. 若?1?2x??a0?a1x?a2x?????a7x，
则a1?a2?????a7? ，a1?a3?a5?a7?
a0?a2?a4?a6? .
三、总结提升 ※ 学习小结 ?对称性 1. 二项式系数的三个性质 ?增减性与最大值?n 2. 已知?1?x?的展开式中第4项与第8项的二项?各二项式系数的和?
式系数相等，求这两项的二项式系数.
2. 数学方法 ： 赋值法和递推法
※ 知识拓展
早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详 解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。杨辉指 出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家 贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国 发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认
为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，
他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三
角的发现要比欧洲早五百年左右.
??15 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
§1.3.3 二项式定理（练习）
学习目标 1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质； 2. 熟练掌握二项式系数各项和的推导方法；
3.会把二项式定理推广到两个以上二项式展开式的情况. 1??1. 在?x??的展开式中，系数最大的项是
x??第 项；
2. 在?1?x?的展开式中，二项式系数最大的是
9912 学习过程 一、课前准备 （预习教材P36~ P37，找出疑惑之处）
第 项，项系数最小的项是第 项；
n 复习1：⑴ (a?b)＝ 1293. 计算310?39C10?38C10???3C10?1= 展开式中Cr叫做第 项的 系数，通项n
公式是 ，展开式中共有 项. 9294. 若?1?2x??a0?a1x?a2x???a9x，则
⑵ 二项式系数的三个性质：
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中学数学资源网 高二数学◆选修2－3◆导学案 编写：李晓利 校审：李志敏
r增减性：当r满足 时，Cn是增函数；
最值：当n是偶数时，展开式中间项是第 项，656??x?12x?1例2 求展开式中x系数. 它的二项式系数有最 值为 ；当n是奇数
时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有
最 值为 ；
193复习2：求(x?)的展开式中x的系数及它的二
x
项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和
系数最大的项.
54 变式：求?1?2x??1?3x?展开式中按x的升幂排
列的第3项.
二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：整除性问题，余数问题
2008小结：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两问题：101除以100的余数是多少？
个通项之积比较方便运算.
100
例3 3x?32展开式是关于x的多项式，问
新知：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定
理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开式中共有多少个有理项？
展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。
这是解此类问题的最常用技巧，余数要为正整数.
2009试试： 8除以7的余数是
99反思：6除以7的余数是多少？
1n )的展开式中，前三项系数变式：已知(x?42x※ 典型例题
对称性是指
????例1 用二项式定理证明：?n?1??1能被n整除.
100变式：证明99能被1000整除.
n2的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
※ 动手试试
19 2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 计数原理 练1. ?1?x???1?x???1?x???????1?x?展
236开式中x的系数（05湖南）.
12n练2. 如果1?2Cn?22Cn?????2nCn?81，则
12n＝ . Cn?Cn?????Cn2
课后作业 1041. 求1?x?x2?1?x?展开式中的x的系数.
??
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 利用二项式定理解决有关余数以及整除问题；
2. 掌握二项式定理在两项以上项展开式中的应用，并会求有理项问题.
※ 知识拓展
123n求证： Cn?2Cn?3Cn?????nCn?n?2n?1. 0n1n?1n0证明：?Cn ?Cn,Cn?Cn,???Cn?Cn123n Sn?Cn?2Cn?3Cn?????nCn012n ＝0Cn ?1Cn?2Cn?????nCn012n ?Sn?nCn??n?1?Cn??n?2?Cn?????0Cn01n两式相加得2Sn?nCn?Cn?????Cn?n?2n
??
552. 用二项式定理证明55?9能被8整除.
Sn?n?2n?1
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. ?1?2x?展开式中各项系数的和是 ；
20092. 今天是星期三，再过8是星期 .
n
《计数原理》复习
学习目标 1. 进一步巩固本章的四个知识点，正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质；
2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用. . 1??53. ?1??展开式的x系数是 ； ?2x?
4. 已知?x?1??ax?1?展开式中x系数是56，则实数a的值为 ；
245. 求(x?3x?4)的展开式中x的系数.
62310 学习过程 一、课前准备 （预习教材P38~ P41，找出疑惑之处）
复习1：加法原理的使用条件是 和 ；乘法原理的使用条件是 和 .
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