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高中物理竞赛电学教程 第四讲 电磁感应
1?B??r22?r?t r?B?2?t ?当r＞R时 所以
??E感?2?r??B??rR2?t
E感?E感的大小在管内与r成正比，在管外与r成反比。感生电场电力线的方向可由楞次定律
R2?B?2r?t
?B确定，当?t＞0时，电力线方向为逆时针方向。
例2、在一无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即?B/?t?常数)，求螺线管内横截面上长为l的直线段MN上的感生电动势。(横截面圆的圆心O到MN的垂直距离为h)
解:求感生电动势有两种方法。 (1) (1) 根据电动势的定义：某一线段上的感生电动势等于感生电场搬运单位正电荷沿此段运动时所做的功。在MN上任选一小段?l，O点到?l距离为r，
??l处的E感如图4-4-8所示，与?l的夹角为θ，感生电场沿?l移动单位正电荷所做的功为
?A?E感?lcos?， 而
E感?r?B2?t则
O M r?B??lcos?2?t 而 rcos??h
h?B?A??l2?t故
把MN上所有?l的电动势相加，
1?B1?B????l?hl2?t2?t ?A? r h ?? N ?l 图4-4-8
E然 (2)用法拉第定律求解。连接OM，ON，则封闭回路三角形OMN的电动势等于其所包围的磁通量的变化率。
?EOM和ON上各点的感生电场感均各自与OM和ON垂直，单位正电荷OM和ON上移动时，
1lhB2 ??1?B???hl?t2?t ??BS?高中物理竞赛电学教程 第四讲 电磁感应
感生电场的功为零，故OM和ON上的感生电动势为零，封闭回路OMNO的电动势就是MN上的电动势。
电动势的方向可由楞次定律确定。
例3、两根长度相度、材料相同、电阻分别为R和2R的细导线，围成一直径为D的圆环，P、Q为其两个接点，如图4-4-9所示。在圆环所围成的区域内，存
R 在垂直于圆指向纸面里的匀强磁场。磁场的磁感强度的大小随时间
N M 增大，变化率为恒定值b。已知圆环中的感应电动势是均匀分布的。
设MN为圆环上的两点，MN间的弧长为半圆弧PMNQ的一半。试求这Q D2 P
U?UN。
两点间的电压M 分析：就整个圆环而言，导线的粗细不同，因而电阻的分布不2R 同，但感应电动势的分布都是均匀的。求解时要注意电动势的方向
图4-4-9 与电势的高低。
解：根据电磁感应定律，整个圆环中的感应电动势的大小为
E???1??D2b?t4
此电动势均匀分布在整个环路内，方向是逆时针方向。由欧姆定律可知感应电流为
I?ER?2R
M、N两点的电压
UM?UN?1R??E?I?2R??42? ?1?D2b48
由以上各式，可得
UM?UN??可见，M点电势比N点低
§4．5 自感磁场的能量
4．5．1、自感
(1)自感电动势、自感系数
回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。在自感现象中回路产生的电动势叫自感电动势。由法拉第电磁感定律
??n这里磁通?是自身电流产生磁场的磁通，按照毕奥—萨尔定律，线圈中的电流所激发的磁场的磁感应强度的大小与电流强度成正比。因而应有??/?t??I/?t。根据法拉第电磁感应定律，可得自感到电动势
???t
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?自??L?I?t
式中L为比例系数，仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关，称为自感系数。在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。式中负号表示自感电动势的方向。当电流增加时，自感电动势与原有电流的方向相反；当电流减小时，自感电动势与原有电流的方向相同。要使任何回路中的电流发生改变，都会引起自感应对电流改变的反抗，回路的自感系数越大，自感应的作用就越强，改变回路中的电流也越困难。因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。
(2)典型的自感现象及其规律
如图4-5-1所示电路由电感线圈L和灯泡A，以及电阻R和灯泡L A B组成两个支路连接在一个电源两端。A、B灯泡相同，当K闭合瞬 B R 时，L—A支路中，由于L的自感现象，阻碍电流增大，所以A不能立即发光，而是逐渐变亮，而B立即正常发光。当稳定后，电流不
再变化时，L只在电路中起一个电阻的作用。流过L—A支路的电流
K
I1，此时L中贮存磁场能为
W?12LI12(在后介绍)
图4-5-1
当K断开瞬间，L中电流要减小，因而会产生自感电动势ε，在回来L—A—B—R中产生感应电流，从能量观点来看，L释放线圈中磁场能，转变成电能消耗在回路中，所以A、B灯泡应是在K断开后瞬间逐渐熄灭，其回路中电流时间变化如图4-5-2所示。
4．5．2、磁场的能量
见图4-5-3，当K闭合后，回路中电流ι将从零不断增加，而自感系数为L的线圈中将产生自感电动势
I感 I1 O t
?自???i?t阻碍电
图4-5-2
R
L
流的增加，?和?自合起来产生电流通过电阻R
?i??L?Ri?t
??Ri?L即
2 ?i?t
K 式中i是变化的，方程两边乘以i?t并求和图5-2-1
??i?t??Ri?t??Li?i
图4-5-3
ε
显然，方程的左边是电源输出的能量，而方程右边第一项是在电阻R上产生的焦耳热，那剩下的一项显然也是能量，是储存在线圈中的磁场能，下面我们求它的更具体的表达式：
i=0，K刚闭合时，而当电路稳定后，电流不再变化，自感电动势变为零，稳定电流
I??R(忽
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略电源内阻)，这个求和式的求和范围从0到I，令，y=i并以i为横作标，y为纵坐标做一坐标系，则y=i在坐标系中为第一象限的角平分线。在横作标i处取??i，?i很小，可认为对应的y为常量，窄条面积
y ?Li?i ?S?y?i?i?i，把从0到I的所有窄条面积加
起来
形面积，故
?y?i??i?i即为y=i与i轴所夹三角
?y?i??i?i?12LI2
12I2
O
代入
?Li?i可知储存线圈内的能量。
?i
图4-5-4
I
i
W?从公式看，能量是与产生磁场的电流联在一起的，下面我们求出直螺线管的自感系数从而证实能量是磁场的。设长直螺线管长为l，截面积为S，故绕有N匝线圈，管内为真空。当线圈中通有电流I时，管内磁场的磁感应强度
B??0nI，通过N匝线圈的磁通量
与??LI相比较，可得
NN2??NBS?N?0IS??0ISll N2L??0Sl
NBBl?L??SI??0n?0N l，将代
20代入磁场能量式
1N?Bl?1B?W?nS??v??2l??N?2n
220002B2单位体积的磁场能量为 2n0
112?0E与电场的能量密度2相比较，公式何等相似。从电学、磁学公式中，我们知道?0对n应于0，公式的相似来源于电场，磁场的对称性。
?磁场的能量密度公式告诉我们，能量是与磁场联系在一起的。只要有磁场，就有B，就
有能量。另外，公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来，但对所有磁场的均适用。
典型例题