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高中物理竞赛电学教程 第四讲 电磁感应
外突变为零。磁感线跟圆柱轴线平行，在与磁场垂直的平面上磁场边界是有限大的圆。按麦克斯韦理论：如果磁场随时间均匀变化，那么产生的涡旋电场就不随时间变化；如果磁场随时间是振荡的，那么产生的涡旋电场就是同频率振荡的，如图4-4-1所示。涡旋电场的电场线是一系列环抱磁感线的同心圆。沿这些同心圆的半径方向放置导体，导体上是不可能产生感应电动势的，在这个方向上导体内的带电粒子即受到涡旋电场力作用也不会沿导体定向移动。如果有环形导体恰好与电场线平行，导体上能产生感应电动势，那是确定无疑的。
在上述这些特殊条件下，由变化磁场产生的涡旋电场，其特征是：①空间各点的处在与磁场垂直的平面上，即
E涡一定
E涡没有跟B平行的分量；②磁场边界内外都有E涡。上面说过
E涡的场线是与磁场边界同心封闭圆，任何一个磁场边界同心的圆周上任意一点的E涡沿切线
方向；③
E涡的指向与磁场变化的关系遵从楞次定律，即E涡的方向就是感应电动势的方向；
④涡的大小，可以从涡旋电场力是非静电力这一点出发来推导，根据电动势定义，电动势应等于单位正电荷从电源负极通过电源内部移往正极，单位正电荷在回路上绕行一周，非静电力做功
EW?W非/q?E?2?r，此处设该回路半径为r，又根据法拉第电磁感应定律
???B?B?S??r2?t?t?t，这两个ε在本质与现象的关系，其实是一回事，数值上应相等，
?Br?BE涡?2?r??r2E涡??t，2?t。即所以该结果仅适用于r≤R的范围(R是磁场边界半径)，
?B?BE其说明涡大小由两个因素决定：一是磁感应强度变化率?t；二是r，如果?t是恒量，那
?BE涡2?r??R2E涡∝ r，在r＞R处，?t，磁通量??BS中的S，只能计及有磁感线么
??R?B?B2E穿过的面积?R,涡=2r?t。请我们关注?t这个物理量，这是一个非常重要的物理量，
2?B以下的每个A类例题和B类例题，我们都要跟?t打交道。
产生感应电磁现象的原因是由于感生涡旋电场的作用，假如有一个局限在圆柱形范围内的匀强磁场B，B的方向平行于圆柱体的轴。当B的大小在增加时，感生
E 电场的方向如图图4-4-2所示。根据对称性，在回路上各点处的感生电
E 场方向必然与回路想切，感生电场的电场线是一些同心圆。因此，感生
B 电场的电感线是闭合线，无头无尾，像旋涡一样，所以由磁场变化而激
E 发的电场也叫旋涡电场。而静电场的电感线却是起于正电荷而终于负电
E 荷，是有头有尾的。这是一个很重要的区别。
根据电动势和电场的关系，如果磁场区域半径为R，回路的半径为r，
回路上的电场强度为E，则
图4-4-2
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2
?rE????t
2????r?B, 因为
所以有
?r?B?,??2?tE??2?R??B,??2r?t
4．4．1、磁场中导体的感生电动势
在一个半径为R的长直螺线管中通有变化的电流，使管内圆柱形的空间产生变化的磁场，且?B/?t＞0(图4-4-3)。如果在螺线管横截面内，放置一根长为R的导体棒ab，使得
oa?ab?ob，那么ab上的感生电动势?ab是多少？如果将导体棒延伸到螺线管外，并使得ab?bc?R呢？
前面已说过：长直通电螺线管内是匀强磁场，而管外磁场为零，所以本题研究的是一个圆柱形匀强磁场。
尽管根据前述E的表达式，可知ab棒所在各点的电场强度，但要根据这些场强来求出ab却要用到积分的知识，因此，一般中学生无法完成，我们可取个等边三角形面积oab，因为oa和ob垂直于感生电场的电力线，所以oa和ob上没有感生电动势。又根据法拉第电磁感应定律，oab回路上的感生电动势
?????32?B?R?t4?t
?这也就是ab的大小。
如果将ab延伸到c，则可研究?oac，根据同样的道理可知
B 0
?ac???3??2?B?????R??t?412??t?
b
图4-4-3
a c
很明显，上面这个问题可以这样解的前提是磁场局限于圆柱形内。如果一根导体棒是放在一个宽广的或是其它范围不规则的磁场内，那是得不出上述结果的，假如将一个导体闭合回路放在磁场中，对磁场就没有那么严格的要求了，这类问题一般说来同学们是熟悉的，但如果是一个比较复杂的电路
a 放在磁场中，处理时就要用一些新的方法。
V ? ? V 4．4．2、磁场中闭合电路的感生电动势 a解磁场中一个比较复杂的闭合电路的感生电流的问题，
一般除了用到有关电磁感应的知识以外，还要用到解复杂电(b) (a) 路的回路电压定律和节点电流定律。
将一个半径a、电阻为r的圆形导线，接上一个电阻为R图4-4-4
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的电压表后按图4-4-4(a)、(b)两种方式放在磁场中，连接电压表的导线电阻可忽略，(a)、(b)中的圆心角都是θ。均匀变化的磁场垂直于圆面，变化率?B/?t?k。试问(a)、(b)中电压表的读数各为多少？
因为电压表的读数与它两端的正负无关，所以可以任意假设磁场B的方向和变化率的正负。现在我们设B垂直于纸面向里，且?B/?t回路OPS1Q的面积
?k＞0(图4-4-5)。
I1 S1 O S2 I V B P 图4-4-5
I2 IV Q S1????a2?2?，回路OPS2Q的面积
S2?2????a22?。这两个回路单独存在时的感生电流方向相
??同，都是逆时针的，感生电动势的大小分别为
?1?S122?B2?????a?k,??S??t2?
2?B???a2k,?t2?
???1/?2??/(2???)
R1? ①
PS1Q段导线和QS2P段导线电阻分别为
如图4-4-6中标出的电流，应该有
对两个回路分别列出电压方程
?2???r,R?r2?2?
2
④
③
②
IV?I2?I1
?1?I1R1?IVR,
?2?I2R2?IVR(R为伏特表的内阻)。
由①、②、③、④、⑤可解得
⑤
????2????I1??2????r??R??I2???r??R?,?2???2?? 即有 I1?I2
I2 I?0
因此 V所以图4-4-4(a)的接法中电压表的读数为零。
再看图4-4-4 (b)中的接法：电流设定如图4-4-6，小回路和大回路的感生电动势大小分别为
IV I
a1? S2
a S?1 O V ??S1??1?B??1????a2?a2sin??k?t?2?2?
图4-4-6
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?12ka???sin??2
22???S???B?2???212????a?asin??k?t?2?2?
(R为伏特表的内阻)。
由上述方程可解得
12ka?2????sin??2 IV?I2?I1, ??2?I2R2?IVRr??IV?2?2a2ksin?/???2?????4?2?RR??
由些可知电压表的读数为
r??V?IVR?2?2a2ksin?/???2?????4?2?R??
本问题中我们用到的电流方程(如③式)和回路电压方程(如④、⑤式)，实际上就是上一
讲中提到过的基尔霍夫方程。在解决电磁感应的问题时，用电压回路方程十分方便，因为电磁感应的电动势是分布在整个回路上的。
附：静电场与感生电场的比较
就产生原因而言，静电场是静止电荷产生的，而感生电场是变化多端的磁场激发的。就性质而言，当单位正电荷绕封闭合回路一周静电场力的功为零。当感生电场驱使单位正电荷绕付线圈一周时，感生电场力的功不为零，其数值恰为副线圈内产生的感生电动势，数值上等于通过副线圈的磁通量对时间的变化率。静电场是保守场，感生电场是非保守场。静电场的电力线是有头有尾的不封闭曲线，而感生电场的电力线是无头无尾的闭合曲线。静电场是有源场，而感生电场是无源场。
典型例题
R 例1、无限长螺线管的电流随时间作线性变化(?I/?t?常数)时，其内部的磁感应强度B也随时间作线性变化。已知?B/?t的数值，求管内外的感生电场。
解：如图4-4-7所示为螺线管的横截面图，C表示螺线管的边缘，其半径为R。由于对称性以及感生电场的电力线是一些封闭曲线的性质，可知管内外的感生电场电力线都是与C同心的同心圆，因此：
当r＜R时，即
图4-4-7
??E感?2?r????t
E感?1?B?S2?r?t