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B——河面宽
?t时间间隔内微小河段中的水质量平衡方程为
?m???(A?x)?[Q(x)?Q(x??x)]?t——平流项
?B?x(PR?PE)?t——水体与大气交换项
?(q?qb)?x?t——侧向与底部入出流项
?m——时间内微元河段中水质量的增量 ?——水的密度 同除?x，?t ?A?Q???B(PR?PE)?(q?qb) ?t?x?x ?0，?t?0 ?A?Q???B(PR?PE)?(q?qb) （1） ?t?x忽略PR,PE，qb
?A?Q??q （2） ?t?x求解（1）可得一维河流中流量的时间和空间分布，求解（2）可得只考虑侧向入流时的一维河流的流量时间和空间分布。
2．当河水中的污染物为单组分时，河流水质迁移方程可表达如下： （1） 推流流动时
由质量平衡关系可写出
?m?[C(x)Q(x)?C(x??x)Q(x??x)]?t?(Se?Se')?x?t?SsB?x?t?SvA?x?t?m——?t时间内微元的质量变化
Se,Se'——单位时间、单位长度上侧向、底部的源和漏 Ss——单位时间、单位面积上的源和漏 Sv——单位时间、单位体积内的源和漏
有关源和漏的各项，如果是源则取正，若是漏则取负。
上式用?(AC?x)代替?m，?x,?t 除两边，?x,?t?0，可得下列微分方程
?(AC)?(QC)???Se?Se'?SsB?SvA ?t?x?(AC)?(QC)??SA （2-3） 或写成
?t?x'式中，AS?Se?Se?SsB?SvA
（2） 考虑分子扩散时
?(AC)?(QC)??C??SA?(EMA) ?t?x?x?x（3） 考虑分子扩散和湍流扩散时
采用流场中点的平均值C,u表达
?(AC)?(QC)??C??SA?[(EM?Ex)A] ?t?x?x?x（4） 考虑扩散和弥散
此时应采用河流断面的平均值C,u来表达。得
?(AC)?(QC)??C??SA?[(EM?Ex?Dx)A] ?t?x?x?x或者
?(AC)?(QC)??C??SA?[(EM?Ex?Dx)A] ?t?x?x?x注意上式中的水流流速和水中污染物的浓度都是指断面的平均值，不是任意点的瞬时值和平均值。
实际中，完全可以忽略分子扩散作用，因此，一维河流水质基本方程为：
?(AC)?(QC)??C??SA?[(Ex?Dx)A] ?t?x?x?x对于均匀河段，断面面积A为常数，此时一维河流水质基本方程为：
?C?C??C?u?S?[(Ex?Dx)] ?t?x?x?x对有弥散现象的河流，一般x方向上的弥散系数Dx比扩散系数Ex大得多（Dx=10—103，Ex=10-2—1），因此，往往可忽略扩散项，则水质基本方程可写为：
?C?C?2C?u?S?D2 ?t?x?xSeSe'BSS式中，S????Sv
AAA'如果忽略河流底部渗漏项Se，并用平均水深H代替A/B,则
S?SeSS??Sv AH对于以BOD代表河流中有机物综合指标而建立的水质模型而言，Se/A主要代表非点源的侧向径流，SS/H代表底泥释放的过程；Sv则可包括河段内所进行的全部过程。对于DO以指标建立的水质模型而言，Se/A代表非点源，SS/H代表水面的复氧，Sv代表河段体积内的耗氧速率、藻类光合作用产氧速率等的代数和。
对于河底无渗漏、忽略面源的侧向输入、BOD为一级衰减反应的一维均匀河流水质模型的基本方程为：
?L?L?2L?u?D2?K1L ?t?x?xL——t时存有的BOD浓度 K1——BOD反应速度常数
3.河流水质模型的三维基本方程
采用类似一维河流迁移方程的推导过程，即利用连续性原理和质量平衡关系的方法，可以就一个三维空间的微小水团得出如下方程
?C?C?C?C??C??C??C?(ux?uy?uz)?S?[(Ex)?(Ey)?(Ez)]?r(C)x,y,z—?t?x?y?z?x?x?y?y?z?z—纵向、竖向、横向距离
ux,uy,uz——x,y,z方向上的速度分量
Ex,Ey,Ez——x,y,z方向上的湍流扩散系数
r ------化学和生物化学反应项
S——其他源和漏
第三节 非稳定源排放的解析解
一．一维流场中的瞬时点源排放
?C?C?2C?ux?Dx2?KC ?t?x?x一般不受潮汐影响的河流，弥散系数很小，可以忽略，即Dx=0，于是一维河流方程变为：这个偏微分方程可以改写为两个常微分方程：
?C?C?ux??KC ?t?xdx?ux （表明进入环境的污染物的位置） dtdC??KC （表明在某一个位置时的污染物浓度） 和dt上式的解为：C(x,t)?C0exp(?Kt)?C0exp(?Kx) ux(x?uxt)2如果Dx≠0，则C(x,t)?exp[?]exp(?Kt)
4Dxt4?DxtuxC0瞬时投放，C0?M又Q?Aux代入上式，得 Q(x?uxt)2C(x,t)?exp[?]exp(?Kt)
4DxtA4?DxtMM——瞬时投放的污染物量 A——断面平均面积
二．瞬时点源排放二维模型
假定所研究的问题处在x,y平面上，即
?C?0，点源瞬时排放条件下的解析解为： ?z2(x?uxt)2(y?uyt)1． 无边界 C(x,y,t)?exp?[?]exp?(Kt)
24Dxt4Dyt4?hDxDytM式中 uy ——y方向的流速分量； Dy—— y方向的弥散系数； h——平均水深
2． 有边界 ，增加边界的反射作用，这种反射作用可以用一个虚点源来模拟。把边界作为一个反射镜面，在
实源的对称位置设立一个源强与实源相等的虚源。虚源的作用就是边界的反射。
22(x?uxt)2(y?uyt)(x?uxt)2(2b?y?uyt)C(x,y,t)?{exp[??]?exp[??]}exp(?Kt)24Dxt4Dyt4Dxt4Dyt4?hDxDytM式中 b——点源到边界的距离
当点源的位置逐步向边界移动，当b=0。即在边界上排放是，可以得到
2(x?uxt)2(y?uyt)C(x,y,t)?exp[??]exp(?Kt)
24Dt4Dt4?hDxDytxy2M三．瞬时点源排放的三维模型
均匀流场中，典型的三维模型的解析解为
(z?uzt)21(x?uxt)2(y?uyt)C(x,y,z,t)?exp[?(??)]exp(?Kt)式中 Ex,Ey,,Ez
324tEEE8(?t)ExEyEztxyzM2——x,y,z方向上的湍流扩散系数
主要应用在大气模拟预测中
第四节 基本模型的稳态解
所谓稳态，是指均匀河段定常排污的条件。即截面积A、流速u、流量Q、以及污染物输入量W和弥散系数D都不随时间而变化。环境介质处于稳定的流动状态，污染源连续稳定排放，环境中污染物的分布状况也是稳定的。因此，污染物在某一空间位置的浓度不随时间而变化。即一．零维模型
模型为 V稳态
?C?0。 ?tdC?Q(C0?C)?KCV dtdC?0 dtC?C0 V1?KQV——理论停留时间 Q二．一维模型
假定只在x方向上存在污染物的浓度梯度，则稳态的一维模型为：
?2C?CDx2?ux?KC?0
?x?x初始条件：x=0时C=C0
ux4KDxC?C0exp[x(1?1?)] 22Dxux对于一般的河流，推流形成的污染物的迁移作用比弥散作用大得多，在稳态条件下，弥散作用可以忽略，
则有
C?C0exp(?QC1?qC2Kx ) C0?uxQ?qQ——河流的流量 C1——河流中污染物的本底浓度
Q——污水流量 C2——污水中污染物的浓度