发布时间 : 星期三 文章高一数学 函数单调性与最值(含解析)更新完毕开始阅读
函数单调性
引入
对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随
着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ， ，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.
一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义
一般地，设函数 的定义域为 ：
如果对于定义域 内某个区间D上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D上是增函数（increasing function）
如果对于定义域 内某个区间D上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D上是减函数（decreasing function）.
【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－
1
D．f(x)＝－|x| x＋1
32?3，＋∞?0，?时，【解析】选C 当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈?f(x)＝x－3x为减函数，当x∈?2??2?1
时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为
x＋1减函数．故选C.
－2x
【例2】判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．
x－1【解】任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1 －2x1－2x22?x1－x2? －＝， x1－1x2－1?x1－1??x2－1? 因为1 (1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x2＋2x－3|； (3)y＝－x2＋2|x|＋1. ??3x， x≥0， 【解】(1)∵f(x)＝3|x|＝?图象如图所示． ??－3x， x<0. f(x)在(－∞，0]上是减函数， 在[0，＋∞)上是增函数． (2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4. 先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方 的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]． 22???－x＋2x＋1，x≥0，?－?x－1?＋2，x≥0， (3)由于y＝?2即y＝? 2 ?－x－2x＋1，x＜0，?－?x＋1?＋2，x＜0.?? 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y＝x2＋x－6的单调区间． 【解】令u＝x2＋x－6，y＝ x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数． 由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2. ∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y＝u在(0，＋∞)上是增函数． ∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R上是增函数 【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。 【例6】讨论函数 的单调性，请作出当a=1时函数的图像。 【变式2】讨论 的单调性 2、函数的单调区间 如果函数 在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 的单调区间. （1）区间端点的确认 函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义。因此，书写函数的单调区间时，若函数在区间端点处有意义，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处无意义，则必须写成开区间。 （2）多个单调区间的写法 当同增（减）单调区间有多个时，区间之间不一定能写成并集。 【注意】一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接。 【例7】求下列函数的单调区间： （1） ；（2） 【变式3】（1）作出函数 的图像，并指出函数 的单调区间 （2）求函数 的单调区间。 【例8】求解下列问题： （1）求函数 的单调区间 （2）求函数 的单调区间 【练习1】 1、设函数f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,??)为减函数，则f(?2),f(??),f(3)的大小顺序 2、y?f(x)在(0,2)上是增函数，y?f(x?2)是偶函数，则f(),f(),f()的大小关系 3、判断正误 (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( ) (2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)( ) (3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( ) 1 (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( ) x (5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( ) 4．(人教A版教材习题改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________． 5．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________． 125272二、函数最值 1、函数最值定义 一般地，设函数 的定义域为，如果存在实数M满足： （1）对于任意的 ，都有 （2）存在 ，使得 那么，我么称M是函数 的最大值（maximum value） 请你模仿函数最大值的定义，给出函数 的最小值（minimum value）的定义。 1??x，x≥1， 【例9】函数f(x)＝?的最大值为________． ??－x2＋2，x＜1 1 【解析】当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时， x易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2. 【例10】函数 在区间 （ ）上的最大值是1，最小值是 ，则