发布时间 : 星期三 文章2020高考数学一轮复习第八单元数列学案文更新完毕开始阅读
2019年
高考研究课(一) 等差数列的3考点——求项、求和及判定 [全国卷5年命题分析]
考点 等差数列通项 等差数列前n项和 等差数列的判定 考查频度 5年6考 5年5考 5年2考 考查角度 求通项或某一项 求项数、求和 判断数列成等差数列或求使数列成等差数列的参数值 等差数列基本量的运算 [典例] (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝( )
A．5 B．5 C．7
D．8
(2)(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
①求b1，b11，b101；
②求数列{bn}的前1 000项和．
[解析] (1)法一：由等差数列前n项和公式可得
Sn＋2－Sn＝(n＋2)a1＋d－＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋4n＋2＝36，
解得n＝8.
法二：由Sn＋2－Sn＝an＋2＋an＋1＝a1＋a2n＋2＝36，因此a2n＋2＝a1＋(2n＋1)d＝35，解得n＝8.
答案：D
(2)①设数列{an}的公差为d， 由已知得7＋21d＝28，解得d＝1. 所以数列{an}的通项公式为an＝n.
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.
0，1≤n＜10，??1，10≤n＜100，
②因为bn＝?2，100≤n＜1 000，
??3，n＝1 000，
2019年
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. [方法技巧]
等差数列运算的解题思路
由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程
组求解．
[即时演练]
1．已知数列{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S6＝4S3，则a10＝( )
A. C.
B.2 D.9 819
解析：选B ∵S6＝4S3，公差d＝1. ∴6a1＋×1＝4×， 解得a1＝.
∴a10＝＋9×1＝.
2．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为( )
A．－2 C．2
B．－3 D．3
解析：选D 设{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列， 所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，可得a1＝－4d， 所以＝＝＝3.
3．(2018·大连联考)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn;
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
2019年
解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.
因为d>0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．
(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，
??m＝5，
故解得?
?k＝4.?
即所求m的值为5，k的值为4.
等差数列的判定与证明 [典例] 已知{an}是各项均为正数的等比数列，a11＝8，设bn＝log2an，且b4＝17.
(1)求证：数列{bn}是以－2为公差的等差数列； (2)设数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的最大值．
[思路点拨] (1)利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{bn}是以－2为公差的等差数列；
(2)求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可． [解] (1)证明：设等比数列{an}的公比为q， 则bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q， 因此数列{bn}是等差数列． 又b11＝log2a11＝3，b4＝17， 所以等差数列{bn}的公差d＝＝－2， 故数列{bn}是以－2为公差的等差数列． (2)由(1)知，bn＝25－2n，
则Sn＝＝＝n(24－n)＝－(n－12)2＋144， 于是当n＝12时，Sn取得最大值，最大值为144. [方法技巧]
等差数列判定与证明的方法
2019年 方法 定义法 解读 对于n≥2的任意自然数，an－an－1为同一常数?{an}是等差数列 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N)成立?{an}是等差数列 *适合题型 解答题中证明问题 等差中项法 通项公式法 前n项和公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立?{an}是等差数列 验证Sn＝An＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立?{an}是等差数列 2选择、填空题中的判定问题 [即时演练]
1．(2016·浙江高考)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A．{Sn}是等差数列 C．{dn}是等差数列
B．{S}是等差数列 D．{d}是等差数列
解析：选A 由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A.
2．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 解：(1)设{an}的公比为q.
??a1
由题设可得?
?a1?
1＋q＝2，
1＋q＋q2＝－6.
解得?
?a1＝－2，?
??q＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n. (2)由(1)可得Sn＝
－2×[1－－2n]
1－－2