发布时间 : 星期六 文章1.示范教案（1.1集合的含义与表示）更新完毕开始阅读
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活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示. ②教师可以举例帮助引导:
例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,100},自然数集N:{0,1,2,3,4,…,n,…};区分a与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次.
又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法. ③让学生思考总结已经学习了的集合表示法. 讨论结果：
①方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等;
方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等.
②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;
描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法. 应用示例
思路1
1.下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=
1x图象上所有的点
活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.
在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性;而选项B中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合. 答案：B
变式训练
1.下列条件能形成集合的是( )
A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 答案：D
2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1 在数集{2x,x2-x}中,实数x的取值范围是.
分析:实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x<0或0
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点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合. 2.用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合. 活动：学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“{}”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的. 提示学生注意以下方面: (1)自然数中包含零;
(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x=x的根是x=0,x=1;
(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
2
(2)设方程x=x的所有实数根组成的集合为B,那么 A={0,1}.
(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么
C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容.
如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;
列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式. 变式训练
用列举法表示下列集合:
(1)所有绝对值等于8的数的集合A; (2)所有绝对值小于8的整数的集合B. 答案：(1)A={-8,8};
(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}. 3.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
活动：先让学生回顾列举法表示集合的步骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10 用描述法表示集合时,用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 在(1)中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就是满足方程x2-2=0. 2 中鸿智业信息技术有限公司 http://www.zhnet.com.cn 或http://www.e12.com.cn 在(2)的条件中没有元素代表符号,故要先设出,用一个小写英文字母表示即可;集合中元素的共同特征有两个:一是大于10小于20(用不等式表示),二是整数(用元素与集合的关系符号“∈”来表示). 22 解：(1)设方程x-2=0的实根为x,它满足条件x-2=0,因此,用描述法表示为 A={x∈R|x2-2=0}. 方程x2-2=0的两个实数根为2,?A={ 2,?2}. 2,因此,用列举法表示为 (2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素;(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合. 注意：当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示,否则用描述法表示. 思路2 1.(1)A={1,3},判断元素3,5和集合A的关系,并用符号表示. (2)所有素质好的人能否表示为集合? (3)A={2,2,4}表示是否准确? (4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合? 活动：如果学生没有解题思路,让学生思考以下知识: (1)元素与集合的关系及其符号表示; (2)集合元素的性质; (3)两个集合相同的定义. 解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(∈)和不属于(?),知3属于集合A,即3∈A,5不属于集合A,即5?A. (2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A不能表示为集合. (3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}. (4)因其元素相同,A与B表示同一集合. 变式训练 1.数集{3,x,x2-2x}中,实数x满足什么条件? 解：集合元素的特征说明{3,x,x2-2x}中元素应满足 ?x?3,?x?3,?x?3,???22即也就是x?x?2x,x?3x,?x?0,即满足x≠-1,0,3. ???x??1,?2?23?x?2x,x?2x?3?0,???2.方程ax+5x+c=0的解集是{ 2 12, 1312},则a=________,c=_______. , 13分析:方程ax2+5x+c=0的解集是{ },那么 12、 13是方程的两根, 中鸿智业信息技术有限公司 http://www.zhnet.com.cn 或http://www.e12.com.cn 5?11???,??a?-6,?23a即有?得?那么a=-6,c=-1. ?c?-1,?1?1?c,?a?23答案：6 -1 3.集合A中的元素由关于x的方程kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中仅有一个元素,求k的值. 2 解：由于A中元素是关于x的方程kx-3x+2=0(k∈R)的解, 若k=0,则x= 23,知A中有一个元素,符合题设; 若k≠0,则方程为一元二次方程, 当Δ=9-8k=0即k= 9898时,kx2-3x+2=0有两相等的实数根,此时A中有一个元素. . 综上所述k=0或k= 4.2006山东高考,理1定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为…( ) A.0 B.6 C.12 D.18 分析:∵x∈A,∴x=0或x=1. 当x=0,y∈B时,总有z=0; 当x=1时, 若x=1,y=2时,有z=6;当x=1,y=3时,有z=12. 综上所得,集合A⊙B的所有元素之和为0+6+12=18. 答案：D 注意：①判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合,只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号∈,表示,注意这两个符号的左边写元素,右边写集合,不能互换它们的位置,否则没有意义. ②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合,否则不能构成集合. ③用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同,那么这两个集合就相等,否则不相等. 2.用列举法表示下列集合: (1)小于5的正奇数组成的集合; (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合; (3)方程x2-9=0的解组成的集合; (4){15以内的质数}; (5){x| 63?x∈Z,x∈Z}. 活动：教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可. 提示学生注意： (2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3; (4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数; (5)中3-x是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6. 中鸿智业信息技术有限公司