发布时间 : 星期一 文章2020届高考数学二轮复习第二部分专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积专题强化练理更新完毕开始阅读
答案:23
10.(2019·惠州调研)已知一张矩形白纸ABCD,AB=10,AD=102,E,F分别为AD,
BC的中点,现分别将△ABE,△CDF沿BE,DF折起,使A,C重合于点P,则三棱锥PDEF的外
接球的表面积为________.
解析:三棱锥P-DEF中,PD+PF=CD+CF=DF,
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2
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2
所以∠DPF=90°, 且DF=10+(52)=150. 又∠DEF=90°,
所以DF的中点为三棱锥P-DEF的外接球的球心,则2R=DF,故球的表面积S=4πR=150π.
答案:150π
B级 能力提升
11.(2018·全国卷Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A.123
B.183
C.243 32
AB=93, 4
D.543
2
2
2
2
解析:由等边△ABC的面积为93可得所以AB=6,
所以等边△ABC的外接圆的半径为r=
3
AB=23. 3
2
2
设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=R-r=16-12
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=2.
所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,
1
所以三棱锥D-ABC体积的最大值为×93×6=183.
3故选B. 答案:B
12.我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图,将底面直径都为2b,高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上,用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体,可横截得到S圆及S环两截面.可以证明S圆=S环总成立.据此,半短轴长为1,半长轴长为3的椭球体的体积是________.
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解析:因为S圆=S环总成立,则半椭球体的体积为πba-πba=πba.
3342
所以椭球体的体积V=πba.
3
因为椭球体半短轴长为1,半长轴长为3即b=1,a=3. 42
故椭球体的体积V=πba=4π.
3答案:4π
13.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥PABCD为阳马,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为r,则R=________,内切球的体积V=________.
解析:在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,且底面为矩形,将该“阳马”补成长方体,
则(2R)=AB+AD+AP=16+16+9=41.
2
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2
2
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因此R=
41. 2
依题意Rt△PAB≌Rt△PAD,则内切球O在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆,且该内切圆与△PAB的内切圆全等.
1
故内切球的半径r=(3+4-5)=1,
2443
则V=πr=π.
33答案:
414
π 23
14.(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为________.
解析:如图,连接OA,OB.
由SA=AC,SB=BC,SC为球O的直径,知OA⊥SC,OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB, 平面SCA∩平面SCB=SC, 所以OA⊥平面SCB. 设球O的半径为r,则
OA=OB=r,SC=2r,
所以三棱锥S-ABC的体积 1?1r3?V=×?SC·OB?·OA=, 3?23?
即=9,所以r=3,所以S球表=4πr=36π. 3答案:36π
r3
2
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