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第九章 级 数
无穷级数包括常数项级数与函数项级数两部分，可以利用它求出某些函数、积分和微分方程的近似值，还可以利用它来表示很多重要的非初等函数。
基本内容：基本概念：常数项级数、正项级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数；
基本运算：判断级数的敛散性；求幂级数的收敛半径与收敛区间；求泰勒级数与幂级数展开式； 基本理论：极限的理论；
本章重点：无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的比值判别法；级数的绝对收敛和收敛的关系；幂级数的收敛半径与收敛区间；泰勒级数；函数的幂级数展开式；傅立叶级数。 课标导航
1．理解常数项级数收敛、发散及级数求和；
2．掌握收敛级数的基本条件，了解正项级数收敛的充分必要条件； 3．掌握p?级数、几何级数、条件级数收敛与发散的条件； 4．熟练掌握正项级数的比较、比值和根式敛散法；了解交错级数的敛散法以及绝对收敛和条件敛散的概念；
5．了解函数项级数及其收敛域、掌握幂级数的收敛半径和收敛域的求法，并会求较简单的幂级数的和函数；
6．了解函数在某点处的泰勒级数以及函数展开成幂级数的概念，会用间接法将函数展开成幂级数； 一、知识梳理与链接 （一）.基本概念 1．数项级数
【定义】如果给定一个数列u1,u2,?,un,? 则由这些数列构成的表达式u1?u2???un????un叫做
n?1??（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数。
其中：级数的第n项un叫做级数的通项或一般项，级数的前n项和叫做级数的部分和，记为sn.即
sn?u1?u2???un；如果级数部分和数列sn极限存在，则称该级数收敛，其极限值叫做级数的和，记为s，
否则称该级数发散；级数和与部分和的差称为该级数的余项，记为rn.
2．正项级数、交错级数
级数中的各项均由正数或零组成，则称该级数为正项级数；级数中的各项是由正负交错组成，则称该级数为交错级数。
3．绝对收敛与条件收敛
如果级数?un各项的绝对值所构成的正项级数?un收敛，则称级数?un绝对收敛；如果级数?un收
n?1n?1????????n?1n?1敛，而级数?un发散，则称级数?un条件收敛。
n?1????n?14．函数项级数、幂级数
如果定义在区间I上的函数列u1(x),u2(x),?,un(x),? 则由这些函数列构成的表达式?un(x)，称为定义
n?1??在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。
其中：能使函数项级数收敛的x的全体，称为函数项级数的收敛域；若s(x)?limsn(x)??un(x)，则s(x)n??n?1??称为函数项级数的和；rn(x)?s(x)?sn(x)称为函数项级数的余项。
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形如?anxn?a0?a1x?a2x2???anxn?? （其中a0,a1,a2,?,an,?为常数）的级数称为幂级数
n?0??5．泰勒级数、傅立叶级数
如果函数f(x)在点x0的某一邻域内具有各阶导数，则幂级数
f??(x0)f(n)(x0)2f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??
2!n!称为函数f(x)的泰勒级数。
(n)幂级数f(0)?f?(0)x?f??(0)x2???f(0)xn??称为函数f(x)的马克劳林级数。
2!n!级数a0??(ancosnx?bnsinnx)叫做函数f(x)的傅立叶级数
?2n?1其中：an?1?f(x)cosnxdx，bn?1?f(x)sinnxdx
????????（二）定理、性质、公式、法则
1．收敛级数的基本性质
性质1 如果级数?un收敛于和s，则级数?kun也收敛于和ks.
n?1n?1????即级数的每一项同乘以一个不为零的常数后，它的收敛性不变
性质2 如果级数?un、?vn收敛于和s、?，则级数?(un?vn)也收敛，其和s??.
n?1n?1n?1??????即两个收敛级数可以逐项相加或相减，其敛散性不变，但级数和发生改变。 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。
性质4 如果级数?un收敛，则对该级数的项任意加括号或去括号后所形成的级数仍收敛，其和不变。
n?1??【注】加括号后所形成的级数发散，则原级数也发散。 性质5 如果级数?un收敛，则它的一般项极限为零。
n?1??2．正项级数的收敛法则
定理 正项级数?un收敛的充分必要条件是它的部分和数列sn有界。
n?1????比较判别法 设?un和?vn都是正项级数，且un?vn
n?1n?1??若级数?vn收敛，则级数?un也收敛；若级数?un发散，则级数?vn发散。
n?1????????n?1n?1n?1比较判别法的极限形式 设?un和?vn都是正项级数
n?1n?1????（1）如果limun?ln??vn(0?l???)，且级数?vn收敛，则级数?un也收敛；
n?1????n?1（2）如果limun?l?0或limun???，且级数?vn发散，则级数?un也发散。
n??????vnn??vnn?1n?1比值（达郎贝尔）判别法 设?un是正项级数，如果limun?1??，则当??1时级数收敛；当??1时级
n?1n????un数发散；??1级数可能收敛也可能发散。
根式（柯西）判别法 设?un是正项级数，如果limnun??，则当??1时级数收敛；当??1时级数
n?1??n??精品文档
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发散；??1级数可能收敛也可能发散。
3．交错级数的收敛法则
莱布尼兹判别法 如果交错级数?(?1)nun满足条件：（1）u?un?1??nn?1?.0 （2）limun?0 则级数收敛，
n??且其和s?u1
4．绝对收敛判别法
定理 如果级数?un绝对收敛，则级数?un收敛；反之不真。
n?1n?1????定理 绝对收敛级数改变项位置后所构成的级数也收敛，且与原级数有相同的级数和（即绝对收敛级数具有可交换性）。
5．函数项级数判别法
阿贝尔（Abel）判别法 如果级数?anxn当x?x0（x0?0）时收敛，则适合不等式x?x0的一切x幂
n?0??级数绝对收敛；反之，如果级数?anxn当x?x0时发散，则适合不等式x?x0的一切x幂级数发散。
n?0??推论 如果幂级数?anxn不是仅在x?0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的
n?0??正数R存在，使得当x?R时，幂级数绝对收敛；当x?R时，幂级数发散；当x??R时，幂级数可能收敛也可能发散。
??定理 如果liman?1?? 其中an、an?1是幂级数?anxn的相邻两项系数，则幂级数收敛半径为
n??ann?0?1,??0? ??R????,??0?0,??????6．幂级数的性质
性质1 幂级数?anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续。
n?0????性质2 幂级数?anxn的和函数s(x)在I上可积，并有逐项积分公式
n?0???x0s(x)dx??[?anx]dx???anxdx??nn0n?0n?00x??xann?1
xn?0n?1?【注】逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
性质3 幂级数?anxn的和函数s(x)在其收敛区间(?R,R)内可导，并有逐项求导公式
n?0s?(x)?(?anx)???(anx)???nanxn?1
nnn?0n?0n?0???【注】逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 二、友情提醒与内容强化解读 1．无穷级数
无穷级数涉及到无穷多项求和的定义问题，即级数的收敛问题，还涉及到运算时可否加括号，提取公因子以及把级数从等号的一端移到另一端等问题，这些都是无穷级数理论中的基本问题，在学习时必须给予足够的重视。只有收敛的无穷级数求和时可以添加括号，提取公因子以及把级数从等号的一端移到另一端，对于发散级数是不能够进行的。
2．常数项级数 精品文档
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两个发散的级数逐项相加所得的级数不一定发散，如：级数1+2+3+…和级数-1-2-3-…都是发散的，但是它们逐项相加所得的级数却是收敛的；若一个收敛，另一个发散，则逐项相加所得的级数必发散；如果两个级数逐项相加所得的级数收敛，其中一个收敛，则另一个必收敛。
3．数项级数
级数的部分和数列极限存在与级数的收敛性是一回事，但研究级数并非是多余的，因为sn一般不易求出，且用级数处理某些问题会更方便，所以技术理论决不是极限理论的简单重复，而是有其崭新的内容。
n???limun?0是级数?un收敛的必要条件，但非充分条件。如果级数?un收敛，则limun?0；但
n?1n?1????n???n???limun?0，则级数?un一定发散；如果limun?0，级数?un仍可能发散。也就是说，级数的一般项趋于
n?1????n???n?1零并不是级数收敛的充分条件，有些级数的一般项虽然趋于零，但仍然是发散的，它是级数收敛的必要条件，即一般项不趋于零，则级数必发散。
收敛性和发散性是无穷级数求和的内在性质。把有限个项加到一个无穷级数上，或者从无穷级数上去掉有限项，不会改变级数的敛散性。
4．正项级数的收敛法则
在一般高等数学教材里，正项级数的收敛判别法只限于介绍比较判别法和比值判别法。因此判别一正项级数是否收敛通常按下列步骤来考虑：先观察级数收敛的必要条件limun?0是否满足，如果这个条件不
n???满足，则级数发散，因而问题得到解决；如果这个条件满足，则先试用比值判别法，因为用比值判别法比用比较判别法来得方便。如果比值判别法失效，则用比较判别法。在运用比较判别法时，经常用来比较的是几何级数、调和级数和P—级数。
几何级数：a?aq?aq2???aqn????aqn
n?0?当q?1时，级数收敛，其级数和为a；当q?1时，级数发散。
1?q调和级数：1?1?1???1????1是发散的。
23nn?1?n?P—级数：1?1?1???1????1 当p?1时，级数收敛；当p?1时，级数发散。
p2p3pnpn?1n判别一个正项级数的收敛性，一般而言，按下列程序进行考虑 （1）检查一般项，若limun?0可判定级数发散；
n???（2）用比值（根式）判别法判定，若limun?1?1或极限不存在可判定级数发散；
n???un（3）用比较判别法或极限形式的比较判别法判定之；
（4）检查正项级数的部分和是否有界或判别部分和是否有极限； 5．绝对收敛与条件收敛
将收敛级数区分为绝对收敛级数和条件收敛级数两类，对于级数的研究是很有必要的，因为这两类收敛级数具有不同的性质。例如，绝对收敛级数具有可交换性（即绝对收敛级数不因改变它的位置而改变它的和），条件收敛级数就没有这种性质。条件收敛级数的各项位置改变后可使其和等于任何数（黎曼定理）。
6．莱布尼兹判别法中要求un单调递减的条件不是多余的。例如，级数1?1?1?1???1?1??发
2n525n5散，虽然它的一般项un?1?1?0，但是un的单调递减性每一项由?1变到1时都被破坏了。另一方
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