2019年四川省绵阳市中考数学试题(解析版) 联系客服

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熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质. 23.(11分)如图,AB是⊙O的直径,点C为

的中点,CF为⊙O的弦,且CF⊥AB,垂足为E,连接

BD交CF于点G,连接CD,AD,BF.

(1)求证:△BFG≌△CDG; (2)若AD=BE=2,求BF的长.

【分析】(1)根据AAS证明:△BFG≌△CDG;

(2)解法一:连接OF,设⊙O的半径为r,由CF=BD列出关于r的勾股方程就能求解;

解法二:如图,作辅助线,构建角平分线和全等三角形,证明Rt△AHC≌Rt△AEC(HL),得AE=AH,再证明Rt△CDH≌Rt△CBE(HL),得DH=BE=2,计算AE和AB的长,证明△BEC∽△BCA,列比例式可得BC的长,就是BF的长.

解法三:连接OC,根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH=1,证明△COE≌△BOH,并利用勾股定理可得结论. 【解答】证明:(1)∵C是∴

的中点,

∵AB是⊙O的直径,且CF⊥AB, ∴∴

, ,

∴CD=BF,

在△BFG和△CDG中, ∵

∴△BFG≌△CDG(AAS);

(2)解法一:如图,连接OF,设⊙O的半径为r,

Rt△ADB中,BD=AB﹣AD,即BD=(2r)﹣2, Rt△OEF中,OF=OE+EF,即EF=r﹣(r﹣2), ∵∴

2

2

2

2

2

2

222222

∴BD=CF,

∴BD=CF=(2EF)=4EF, 即(2r)﹣2=4[r﹣(r﹣2)], 解得:r=1(舍)或3,

∴BF=EF+BE=3﹣(3﹣2)+2=12, ∴BF=2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

解法二:如图,过C作CH⊥AD于H,连接AC、BC,

∴∠HAC=∠BAC, ∵CE⊥AB, ∴CH=CE, ∵AC=AC,

∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL), ∴AE=AH, ∵CH=CE,CD=CB, ∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL), ∴DH=BE=2, ∴AE=AH=2+2=4, ∴AB=4+2=6, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠BEC=90°, ∵∠EBC=∠ABC, ∴△BEC∽△BCA,

2

∴BC=AB?BE=6×2=12, ∴BF=BC=2

解法三:如图,连接OC,交BD于H,

∵C是

的中点,

∴OC⊥BD, ∴DH=BH, ∵OA=OB, ∴OH=AD=1,

∵OC=OB,∠COE=∠BOH,∠OHB=∠OEC=90°, ∴△COE≌△BOH(AAS), ∴OH=OE=1, ∴CE=EF=∴BF=

=2=

=2

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理.第二问有难度,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用. 24.(12分)在平面直角坐标系中,将二次函数y=ax(a>0)的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,△ABD的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式;

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方,求△ACE面积的最大值,并求出此时点E的坐标; (3)若点P为x轴上任意一点,在(2)的结论下,求PE+PA的最小值.

2

【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式,经过点A(﹣1,0),可求得a的值,由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标,代入抛物线解析式求出横坐标,由A、D的坐标可求出一次函数解析式; (2)作EM∥y轴交AD于M,如图,利用三角形面积公式,由S△ACE=S△AME﹣S△CME构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;

(3)作E关于x轴的对称点F,过点F作FH⊥AE于点H,交轴于点P,则∠BAE=∠HAP=∠HFE,利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP=FP+HP,此时FH最小,求出最小值即可.

【解答】解:(1)将二次函数y=ax(a>0)的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线解析式为y=a(x﹣1)﹣2, ∵OA=1,

∴点A的坐标为(﹣1,0),代入抛物线的解析式得,4a﹣2=0, ∴

,即y=

22

∴抛物线的解析式为y=令y=0,解得x1=﹣1,x2=3, ∴B(3,0), ∴AB=OA+OB=4, ∵△ABD的面积为5, ∴

=5,

∴yD=,代入抛物线解析式得,解得x1=﹣2,x2=4, ∴D(4,),

设直线AD的解析式为y=kx+b,