发布时间 : 星期六 文章第九章-欧氏空间习题更新完毕开始阅读
C.?保持向量的长度； D. ?把标准正交基映射为标准正交基。
15. A为n阶正交方阵，则
A.A为可逆矩阵 B. 秩?A??1 C. A?0 D.A?1
16. 下列说法正确的是( )
A. 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交; B. 实对称矩阵A的属于相同特征值的特征向量必不正交; C. 实对称矩阵A的所有特征向量都正交; D. 以上都不对。
17. n(?1)维欧氏空间的标准正交基( ).
A. 不存在 B. 存在不唯一; C. 存在且唯一; D. 不一定存在。
?a11a12??a21a2218. 若A??????a?n1an2????a1n??a2n?是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。 ???ann??(A)AA'?A'A?E (B)A?1
(C)a11?a12?L?a1n?1 (D)a11a21?a12a22???a1na2n?0。 四、计算题
222?220???1．已知A???21?2?。求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
?0?20???2222．已知二次型f?t(x1?x2?x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，问
（1）t为何值时二次型f是正定的？
（2）取t?1，用正交线性替换化二次型f为标准形。
2223．已知二次型f?2x1?ax2?3x3?2bx1x2?4x2x3，通过正交变换化为标准形
f=y12+2y22+5y32，求a,b及所用的正交变换的矩阵。(04xd2b) 4．设A为三阶实对称矩阵，其特征值?1= -1, ?2=?3=1，已知属于?1的特征向量?1=(0,1,1)'，求 A。计算04xd2b)
5．在[0,2π]上所有连续函数的全体构成的欧氏空间中，判断：对任意正整数n，集合 {cos(jx),sin(jx)|j?1,2,L,n} 是否正交向量组。
26．欧氏空间R中，定义内积((x1,y1),(x2,y2))?2x1x2?x2y1?x1y2?2y1y2，求其在
基（1，0），（0，1）下的度量阵。并求一组基，使得在此基下的矩阵为对角阵，且在此基下所有向量的长度不变。说明为什么对角阵不是单位矩阵。
7．将二次曲面x?3y?z?2xy?2xy?2yz?4?0通过正交变换和平移变成标准形式。
8．设欧氏空间R3的线性变换?为?(x,y,z)?(x?2y?4z,2x?2y?2z,4x?2y?z)问：?是否为R3的对称变换？若是，求出R3的一个标准正交基，使?在这个基下的矩阵为对角形矩阵。
9. 把向量组?1?(2,?1,0)，?2?(2,0,1)扩充成R3中的一组标准正交基。 10. 设?1,?2,?3为V的基，且线性变换A在此基下的矩阵为
222?111???A??111?
?111???（1）求A的特征值与特征向量；
（2）A是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T使得T?1AT为对角形． 五、证明题
1．设A，B为同级的正交矩阵，且A??B，证明：A?B?0． 2．设?是欧氏空间R的线性变换，且
3
?(x1,x2,x3)?(x1?x3,x2?2x3,x1?2x2?x3)
证明：?是R的对称变换。
3．证明：n维欧氏空间V与V'同构的充要条件是，存在双射?:V?V'，并且
3
??,??V有(?,?)?(??,??)．
4．设?1,?2,,L?m与?1,?2,,L?m为欧氏空间V的两组向量。证明:如果
(?i,?j)?(?i,?j)，i,j?1,2,L,m,
则子空间V1?L(?1,?2,,L?m)V1?L(?1,?2,,L?m)与同构。
5．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量?,?,以下等式成立: (1)????????2??2?；(2)(?,?)?在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?
6.设?,?为欧氏空间V的两个对称变换。证明:
22221122??????? 44?????也是V的对称变换。
7．证明：实系数线性方程组
?aj?1nijxj?bi，i?1,2,L,n有解的充分且必要条件是向量
n??(b1,b2,L,bn)?R与齐次线性方程组?aijxj?0，i?1,2,L,n的解空间正交。
nj?18．设A为实对称矩阵，证明：当实数t充分大后，tE?A是正定矩阵。
9．设?1,?2,,L?m与?1,?2,,L?m是n维欧氏空间V的两组向量，证明：存在正交变换?，使得?(?i)??i，(i?1,2,L,m)成立的充分必要条件是(?i,?j)?(?i,?j)，
i,j?1,2,L,m。