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第四章 扭 转
4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径d = 40mm，扭力偶矩M = 500N?m，切
变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。
解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为
1DdDdR0?(?)?20.5mm， ????1mm
22222于是，该圆管横截面上的扭转切应力为
T500N8 ????1.894?10Pa?189.4MPa 2222πR0?2π?0.0205?0.001m
依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 τ??τ?189.4MPa 该圆管表面纵线的倾斜角为
τ189.4?106???rad?2.53?10?3rad 9G75?100
4-7 试证明，在线弹性范围内，且当R/?≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最
大误差不超过4.53%。
解：薄壁圆管的扭转切应力公式为
T 22πR0δ设R0/δ?β，按上述公式计算的扭转切应力为
TT τ??22πR0δ2πβ2δ3
τ?(a)
按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为 极惯性矩为 由此得
d?2R0?δ， D?2R0?δ
Ip?πRδππ2(D4?d4)?[(2R0?δ)4?(2R0?δ)4]?0(4R0?δ2) 32322T(2??1)TδT(R0?)?(2R??)? 02Ip2πR0?(4R0??2)π??3(4?2?1)τmax?(b)
比较式(a)与式(b)，得
ττmaxπ??3(4?2?1)4?2?1???
T(2??1)2?(2??1)2π?2?3T当??
R0??10时，
4?102?1??0.9548 ?max2?10?(2?10?1)? 41
可见，当R0/δ?10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算τ的最大误差不超过4.53％。
4-8 图a所示受扭圆截面轴，材料的???曲线如图b所示，并可用??C?1/m表示，
式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分
布图。
题4-8图
解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到
????d?dx 根据题设，轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为
τρ?C(?d?dx)1/m 由静力学可知，
??A??ρdA?C(d)1/m?ρ(m?1)/mdxAdA?T
取径向宽度为dρ的环形微面积作为dA，即
dA?2πρdρ 将式(d)代入式(c)，得 2πC(d?dx)1/m?d/20ρ(2m?1)/mdρ?T
由此得
(d?dx)1/m?(3m?1)T2πCm(d
(3m?1)/m2)将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为 1/m
?M???2πm 3m?1(d(3m?1)/m2)横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。
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(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
图4-8
4-9 在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单
元体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。
题4-9图
解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。
图4-9
根据图a，不难算出截面AOO1D上分布内力的合力为
1?d4TlFx1?τmax(l)?2
22πd同理，得截面OCFO1上分布内力的合力为
方向示如图c。
设Fx1与Fx2作用线到x轴线的距离为ez1，容易求出
Fx2?4Tl πd22ddez1???
323根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为
同理，左端面上的合力为
方向亦示如图c。
设Fz2作用线到水平直径DF的距离为ey（见图b），由
Fz2??πd/2T00??π8Tcos(?θ)ρdρdθ? Ip23πd8T 3πdFz1? 43
得
Fz2ey?TIpd/23T2πcos(??)d??d?? ?0?024πey?T3πd3πd???0.295d 48T32同理，Fz1作用线到水平直径AC的距离也同此值。
根据图b，还可算出半个右端面DO1E上竖向分布内力的合力为
Fy3??π/2d/2Tρ0?0π4Tsin(?θ)ρdρdθ? Ip23πd设Fy3作用线到竖向半径O1E的距离为ez2（见图b），由 得
Fy3ez2?d/23Tπ/22Tcos?d??d?? ?0Ip?08ez2?T3πd3πd???0.295d 84T32同理，可算出另半个右端面O1FE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为
Fy4?Fy1?Fy2?4T
3πd方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为ez2。
由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。
?Mx?0，Fy?(2ez2)?Fz2?ey?Fy1?(2ez2)?Fz1?ey?4TT??0 22?My?0，Fz2?l?Fx1?(2ez1)?8Tl8Tl??0 3πd3πd4Tl4Tl?Mz?0，Fy4?l?Fy3?l?3πd?3πd?0
既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。 上述讨论中，所有的T在数值上均等于M。
4-11 如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭
力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm，许用切应力[?1]=80MPa，套管的外径D = 80mm，壁厚?= 6mm，许用切应力[?2]= 40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。
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