发布时间 : 星期一 文章江苏省扬州市2021届新高考数学一模试卷含解析更新完毕开始阅读
所以CD?2AB，即CD?2AB ．
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
22x2y2318．设椭圆C：2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，椭圆C的离心率是，
ab2?AF1F2的面积是3.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）直线l与椭圆C交于B，D两点（异于A点），若直线AB与直线AD的斜率之和为1，证明：直线
l恒过定点，并求出该定点的坐标.
x2【答案】（1）?y2?1； （2）证明见解析，?2,1?.
4【解析】 【分析】
（1）根据离心率和?AF1F2的面积是3得到方程组，计算得到答案.
（2）先排除斜率为0时的情况，设B?x1,y1?，D?x2,y2?，联立方程组利用韦达定理得到
2mtt2?4y1?y2??2，y1y2?2，根据kAB?kAD?1化简得到t?2?m，代入直线方程得到答案.
m?4m?4【详解】
?c3??2?a?x222（1）由题意可得?bc?3，解得a?4，b?1，则椭圆C的标准方程是?y2?1.
4?c2?a2?b2???（2）当直线l的斜率为0时，直线AB与直线AD关于y轴对称，则直线AB与直线AD的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线l的斜率不为0.
设B?x1,y1?，D?x2,y2?，直线l的方程为x?my?t
?x2??y2?1222联立?4，整理得?m?4?y?2mty?t?4?0
?x?my?t?2mtt2?4. 则y1?y2??2，y1y2?2m?4m?4因为直线AB与直线AD的斜率之和为1，所以kAB?kAD?1， 所以kAB?kAD?y1?1y2?1y?1y?12my1y2??m?t??y1?y2??2t??1?2?， x1x2my1?tmy2?tm2y1y2?mt?y1?y2??t22mt2t2?4. 将y1?y2??2，y1y2?2代入上式，整理得kAB?kAD?m?4t?mm?4所以
2?1，即t?2?m， t?m则直线l的方程为x?my?2?m?m?y?1??2. 故直线l恒过定点?2,1?. 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出t?2?m是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3??x2y2FFT?1,?19．已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为1，2，焦距为2，且经过点??，
2??ab斜率为k?k?0?的直线l1经过点M?0,2?，与椭圆C交于G，H两点. （1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在点P?m,0?，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由.
?3?x2y2m,0? 【答案】（1）??1（2）存在；实数的取值范围是???643??【解析】 【分析】
（1）根据椭圆定义计算a，再根据a，b，c的关系计算b即可得出椭圆方程；（2）设直线l1方程为
y?kx?2，与椭圆方程联立方程组，求出k的范围，根据根与系数的关系求出GH的中点坐标，求出GH的中垂线与x轴的交点横，得出m关于k的函数，利用基本不等式得出m的范围． 【详解】
（1）由题意可知c?1，F1(?1,0)，F2(1,0)．
3335又2a?|TF1|?|TF2|?(?1?1)2?(?)2?(?1?1)2?(?)2???4，
2222?a?2，?b?a2?c2?3，
x2y2?椭圆C的方程为：??1．
43（2）若存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形， 则P为线段GH的中垂线与x轴的交点．
设直线l1的方程为：y?kx?2，G(x1，y1)，H(x2，y2)，
?y?kx?2?22联立方程组?x2y2，消元得：(3?4k)x?16kx?4?0，
?1??3?4△?256k2?16(3?4k2)?0，又k?0，故k?由根与系数的关系可得x1?x2??则x0??1． 216k，设GH的中点为(x0，y0)， 23?4k8k6y?kx0?2?， 2，03?4k3?4k21k8k6)?， 3?4k23?4k2?线段GH的中垂线方程为：y??(x?令y?0可得
x??2k22??m??33，即． 3?4k2?4k?4kkkQk?13332g4k?43，当且仅当?4k即k?3时取等号， ，故?4k…22kkk?m…?243??3，且m?0． 6?m的取值范围是[?3，0)．
6【点睛】
本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
20．已知函数f(x)?x2?2xlnx，函数g(x)?x?且g?x0??2.
（1）讨论f(x)的单调性 （2）求实数x0和a的值
a?(lnx)2，其中a?R，x0是g(x)的一个极值点，x（3）证明
?k?1n14k2?1?1ln(2n?1)2?n?N?
*【答案】（1）f?x?在区间?0,???单调递增；（2）x0?1,a?1；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出f'?x?，在定义域内，再次求导，可得在区间?0,???上f'?x??0恒成立，从而可得结论；（2）
22由g'?x??0，可得x0?2x0lnx0?a?0，由g?x0??2可得x0?x0?lnx0??2x0?a?0，联立解方程
22组可得结果；（3）由（1）知f?x??x?2xlnx在区间?0,???单调递增，可证明x?1?lnx，取xx?2k?12k?12k?1,k?N*，可得??ln(2k?1)?ln(2k?1)，而2k?12k?12k?12k?12k?12??，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.
22k?12k?14k?1【详解】
?（1）由已知可得函数f?x?的定义域为?0,???，且f(x)?2x?2lnx?2，
令h?x??f'?x?，则有h'(x)?2?x?1?x，由h'?x??0，可得x?1，
可知当x变化时，h'?x?,h?x?的变化情况如下表：
x ?0,1? - 1 ?1,??? + h'?x? h?x? 0 ] 极小值 Z ?h?x??h?1??0，即f'?x??0，可得f?x?在区间?0,???单调递增；
（2）由已知可得函数g?x?的定义域为?0,???，且g(x)?1??2由已知得g'?x??0，即x0?2x0lnx0?a?0，①
a2lnx?， x2x2由g?x0??2可得，x0?x0?lnx0??2x0?a?0，②
2联立①②，消去a，可得2x0??lnx0??2lnx0?2?0，③ 令t(x)?2x?(lnx)?2lnx?2，则t'(x)?2?222lnx22(x?lnx?1)??， xxx由（1）知，x?lnx?1?0，故t'?x??0，?t?x?在区间?0,???单调递增， 注意到t?1??0，所以方程③有唯一解x0?1，代入①，可得a?1，
?x0?1,a?1；
（3）证明：由（1）知f?x??x?2xlnx在区间?0,???单调递增，
2x2?2xlnx?1f(x)?1故当x??1,???时，f?x??f?1??1，g(x)???0， 22xx?