发布时间 : 星期六 文章[重点推荐]2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质（二）作业2 北师大版选修1-1更新完毕开始阅读
解析：选B.当r
22
共点，必须使方程(x－a)＋2px＝r(x≥0)有且仅有一个解x＝0，可得a≤p.故选B.
2
2．如图，已知抛物线的方程为x＝2py(p>0)，过点A(0，－1)作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为(0，1)，连接BP，BQ，设QB，BP的延长线与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为－3，则∠MBN的大小等于( )
222
πA. 22πC. 3π 4πD. 3B.
x2x212
解析：选D.由题意设P(x1，)，Q(x2，)(x1≠x2)，设PQ所在直线方程为y＝kx－1代入
2p2p22
x＝2py，整理得：x－2kpx＋2p＝0，
x2x221
－1－1?x1＋x2＝2kp，2p2p?
则?kQB＝，kPB＝，
xx21?xx＝2p.?12
可得kQB＋kPB＝0，又因为kQB·kPB＝－3，
ππ
所以kQB＝－3，kPB＝3，即∠BNM＝，∠BMN＝，
33π
所以∠MBN＝π－∠BNM－∠BMN＝.
3
2
3．设抛物线y＝4x的焦点为F，过点M(2，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物
3S△BCF线的准线交于点C，|BF|＝，则＝________.
2S△ACF311
解析：因为|BF|＝，所以B的横坐标为，不妨设B的坐标为(，－2)，所以AB的方程
22222
为y＝(x－2)，
3
122
代入y＝4x，得2x－17x＋8＝0，解得x＝或8，故点A的横坐标为8.故A到准线的距离
2
为8＋1＝9.
3
S△BCF|BC|B到准线的距离21
＝＝＝＝. S△ACF|AC|A到准线的距离96
1答案： 6
2
4．抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝
|MN|
120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为________．
|AB|
22222
解析：由余弦定理，得|AB|＝|AF|＋|BF|－2|AF|·|BF|cos 120°＝|AF|＋|BF|＋
5
|AF|·|BF|，
11
过A，B作AA′，BB′垂直于准线，则|MN|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)，
22
|MN||FA|＋|FB|所以＝ |AB|2|AB|
|FA|＋|FB|
＝ 22
2|AF|＋|BF|＋|FA|·|FB|
12
＝ 22
|AF|＋|BF|＋|FA|·|FB|
2
（|AF|＋|BF|）
12
＝ 2（|AF|＋|BF|）－|AF|·|BF|
2
（|AF|＋|BF|）11223
＝≤＝，
|AF|·|BF||AF|＋|BF|231－（）2
（|AF|＋|BF|）2
1－2（|AF|＋|BF|）
当且仅当|AF|＝|BF|时，等号成立．
3
答案：
35．已知抛物线C：y＝2px(p>0)经过点P(2，4)，直线l：y＝3x－23交C于A、B两点，与x轴相交于点F.
2
(1)求抛物线方程及其准线方程；
(2)已知点M(－2，5)，直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k2、k3，求证：k1、k2、k3成等差数列．
2
解：(1)因为抛物线C：y＝2px(p>0)经过点P(2，4)，
2
所以4＝2p×2，所以p＝4，
2
所以抛物线的方程是y＝8x， 所以抛物线准线方程是x＝－2.
(2)因为直线l：y＝3x－23与x轴相交于点F， 所以F(2，0)．
5－05
因为M(－2，5)，所以k2＝＝－. －2－24
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由方程组?
?y＝3x－23，
得
?y2＝8x6
3x－20x＋12＝0.
20
法一：x1＋x2＝，x1x2＝4.
3
2
y1－53x1－23－5
＝， x1＋2x1＋2y2－53x2－23－5k3＝＝，
x2＋2x2＋2所以k1＋k3＝
（x2＋2）（3x1－23－5）＋（x1＋2）（3x2－23－5）
（x1＋2）（x2＋2）
23x1x2－5（x1＋x2）－83－20＝ x1x2＋2（x1＋x2）＋4
所以k1＝
20
23×4－×5－83－20
3
＝ 204＋2×＋4
3
5＝－，
2
所以k1＋k3＝2k2，
所以k1、k2、k3成等差数列．
2x2＝，
3?x1＝6，
法二：?
43?y1＝43，
y2＝－，3
?????
243
即A(6，43)、B(，－)，
33
所以k1＝
y1－543－5y2－5＝，k3＝＝x1＋28x2＋2
－
43
－5343＋15
＝－，
28＋23
5
所以k1＋k3＝－，
2
所以k1＋k3＝2k2，
所以k1、k2、k3成等差数列．
6．(选做题)已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F(2，0)， (1)求抛物线方程；
(2)过点T(t，0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．
解：(1)由题意知，p＝4，故所求抛物线方程为 y2＝8x.
(2)根据题意得AB，CD的斜率存在，
1
故设直线AB：x＝my＋t，直线CD：x＝－y＋t，
mA(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， ??x＝my＋t，2由?2得y－8my－8t＝0. ?y＝8x?
7
所以
y1＋y2
22
2
＝4m?
x1＋x2
2
＝4m＋t?M(4m＋t，4m)，
同理可得N(44
m2＋t，－m)，
所以|TN|＝16164
m4＋m2＝|m|
2
m2＋1， |TM|＝16m4＋16m2＝4|m|m2＋1，
所以S12|TM||TN|＝8(|m|＋1
△TMN＝|m|
)≥16.
当且仅当|m|＝1时，面积取到最小值16.
8