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例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为 S β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cos2β。
【分析】要证明cosα=-cos2β，考虑求出α、β的 E 余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、 D C OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。 O F
A B OFa 设BC＝a (为参数)， 则SF＝＝,
cosβ2cosβ22SC＝SF?FC＝(aa)2?()2
2cosβ2＝
a2cosβ1?cos2β
1a1?cos2?2cos?＝
SF·BCa2?又 ∵BE＝＝
2cosβSCa1?cos?2
a22??2a22222BE?BD1?cos?在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cos2β。 222BEa2?1?cos2?所以cosα＝－cosβ。
【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。
2. 函数y＝x＋2＋1?4x?x2的值域是________________。
3. 抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为_____
A. 5 B. 10 C. 23 D. 3
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222 42
4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L1：x－3y＋10＝0及L2：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。 5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
6. f(x)＝(1－acos2x)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。
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2a?1(a?1)2a＝0有模为1的虚根，求7. 若关于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg232a8aa?12实数a的值及方程的根。
8. 给定的抛物线y2＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有
七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)
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1＋1为定值。
|MP|2|MQ|2 43
对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组：
1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
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A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根 2. 已知a<0,－1
四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。
(97年全国理)
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；
2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D； 3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；
4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C10－C6×4－3－6,选D。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。
【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。
【证明】 假设AC⊥平面SOB，
∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO， ∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，
∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O， 这显然出现矛盾，所以假设不成立。 即AC与平面SOB不垂直。
【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。
S
C A O B
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