发布时间 : 星期四 文章【100所名校】河南省南阳市方城一中等五校2019-2020学年高二上学期12月联考数学(文科)试卷 Word版含解析更新完毕开始阅读
【分析】（1）a=1时，得出命题p：x＞2，或x＜0，命题q：﹣2＜x＜3，而由p∧q为真得到p，q都为真，从而解不等式组
即得实数x的取值范围；
（2）先求出命题￢p：x＜1﹣a，或x＞1+a，a＞0，从而由￢p是q的必要不充分条件得到，
解该不等式组即得实数a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=1时，p：x＞2或x＜0，q：﹣2＜x＜3； 又p∧q真，∴p，q都为真； ∴由
得﹣2＜x＜0或2＜x＜3；
∴实数x取值范围为（﹣2，0）∪（2，3）；
（2）p：|x﹣1|＞a，∴x＜1﹣a或x＞1+a，a＞0，￢p：1﹣a≤x≤1+a，a＞0； ∵￢p是q的必要不充分条件；
∴；
∴a≥3；
∴实数a的取值范围为[3，+∞）．
19．已知a∈R，命题p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用． 【分析】（1）由于命题p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可． 【解答】解：（1）∵命题p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a， 根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可， 也就是1﹣a≥0，解得a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，
命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1． ∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题， ∴命题p与命题q必然一真一假， 当命题p为真，命题q为假时，
，
当命题p为假，命题q为真时，，
综上：a＞1或﹣2＜a＜1．
20．已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3， （1）求m的值；
（2）设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标． 【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】（1）将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得b值，从而解决问题． （2）设P（a，0），先求点P（a，0）到AB：2x﹣y﹣4=0距离，再根据三角形的面积公式，求出a 值，可求P得坐标． 【解答】解：（1）由
，
∴4x2+4（m﹣1）x+m2=0，
由△＞0有 16（m﹣1）2﹣16m2＞0， 解得 m＜；
设A（x1，y1）B（x2，y2），则x1+x2=1﹣m，x1x2=∵|AB|=
=
，
=
?
=3
，
解得 m=﹣4．
（2）设点P（a，0），P到直线AB的距离为d， 则d=
=
， ×
=3|a﹣2|，
又S△ABP=|AB|?d=9=×3
∴|a﹣2|=3，
解得a=5或a=﹣1，
故点P的坐标为（5，0）或（﹣1，0）
21．设F1，F2分别是C：与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b． 【考点】椭圆的应用．
【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；
+
=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1
（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直， ∴M的横坐标为c，当x=c时，y=若直线MN的斜率为，
，即M（c，
），
即tan∠MF1F2=即b2=即c2+则
即2e2+3e﹣2=0
=a2﹣c2， ﹣a2=0，
，
，
解得e=或e=﹣2（舍去）， 即e=．
（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点， 设M（c，y），（y＞0）， 则
，即
，解得y=
，
∵OD是△MF1F2的中位线， ∴
=4，即b2=4a，
由|MN|=5|F1N|， 则|MF1|=4|F1N|， 解得|DF1|=2|F1N|， 即
设N（x1，y1），由题意知y1＜0， 则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．
即，即
代入椭圆方程得，
将b2=4a代入得解得a=7，b=
．
，
22．已知双曲线E：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）依题意，可知=2，易知c=
a，从而可求双曲线E的离心率；
（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x
轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方
程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|?|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为=1，从而可得答案．
﹣