发布时间 : 星期六 文章(课标通用)2018年高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和学案理更新完毕开始阅读
=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比为( )
A.2 C.4 [答案] B
[解析] 由a5=2S4+3,a6=2S5+3可得a6-a5=2a5,即=3,故选B. 角度二 求通项或特定项
[典题3] [2017·广西南宁测试]在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且2a1,a3,3a2
成等差数列,则an=________.
[答案] 2
[解析] 设数列{an}的公比为q, ∵2a1,a3,3a2成等差数列, ∴2a1+3a2=2a3,
即2a1+3a1q=2a1q,即2q-3q-2=0, 1解得q=2或q=-.
2∵q>0,∴q=2. ∵a1=2,
∴数列{an}的通项公式为an=a1q角度三 求前n项和
[典题4] (1)已知正项数列{an}为等比数列,且5a2是a4与3a3的等差中项,若a2=2,则该数列的前5项的和为( )
A.C.
33
1231
4
B.31 D.以上都不正确
n-1
2
2
B.3 D.5
a6a5
n=2.
n[答案] B
[解析] 设{an}的公比为q,q>0. 由已知,得a4+3a3=2×5a2,
即a2q+3a2q=10a2,即q+3q-10=0, 解得q=2或q=-5(舍去), 又a2=2,则a1=1,
2
2
- 5 -
所以S5=
a1
-q1-q5
=-21-2
5
=31.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=________. [答案] 28
[解析] 由题可知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3=a1q,a6=a1q,所以27a1q=a1q,所以q=3,由Sn==
2
5
2
5
S6S3
a1
-q1-qn,得S6=a1
-31-3
6
,S3=
a1
-31-3
3
,所以
S6S3
a1
-31-3
6
·1-3
=28.
a1-33
[点石成金] 解决与等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.
(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论.当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=
a1
-q1-qn=a1-anq. 1-q考点3 等比数列的性质
等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·________(n,m∈N).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N),则am·an=________=________.
?1??an?2??,??(λ≠0)(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},{an},{an·bn},
?an?
?bn?
*
*
仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为q.
答案:(1)qn-mk (2)ap·aq ak
2
等比数列的基本公式:通项公式;前n项和公式.
1
(1)在等比数列{an}中,若a1=,a4=4,则公比q=________.
2
- 6 -
答案:2
133
解析:由a4=a1q,得4=q,解得q=2.
2
S817
(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则公比q=________.
S416
1答案: 2
1-q1717144
解析:易知公比q不为1,由等比数列求和公式得,即1+q=,所以q=,4=
1-q16161611
得q=或q=-(舍去).
22
8
应用等比数列的前n项和公式的两个注意点:公比应分q=1与q≠1讨论;注意利用性质.
(1)设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,则此数列的公比q=________. 1答案:1或-
2
解析: 当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题意;当q≠1时,∵a1≠0,所以1-q=3q(1-q), ∴2q-3q+1=0, 即(q-1)(2q+1)=0, 1
解得q=-. 2
1
综上所述,q=1或q=-. 2
(2)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项的和S15
=________.
答案:11
-2
解析:由题意知a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等比数列,其公比q==-2,
1首项为a1+a2+a3=1,因此该数列的前5项和就是数列{an}的前15项的和,故S15=1×[1--1--
52
3
2
3
2
a1
-q1-q3
=3a1q,
2
]
=11.
- 7 -
[典题5] (1)[2017·广东广州综合测试]已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则
a7(a1+2a3)+a3a9=( )
A.10 C.100 [答案] C
[解析] a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=a4+2a4a6+a6=(a4+a6)=10=100. (2)[2017·吉林长春调研]在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1
=324,则n=________.
[答案] 14
[解析] 设数列{an}的公比为q,
由a1a2a3=4=a1q与a4a5a6=12=a1q,可得
3n-3
q9=3,又an-1anan+1=a3=324, 1q33
312
2
2
2
2
B.20 D.200
因此q3n-6
=81=3=q,所以3n-6=36,即n=14.
436
[点石成金] 等比数列常见性质的应用
等比数列的性质可以分为三类:(1)通项公式的变形;(2)等比中项的变形;(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
1.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则=( ) A.2 C.
3
10
7B. 3D.1或2
S4S2S6S4
答案:B
解析:设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列,得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,∴
S2=k,S4-S2=2k,S6-S4=4k,∴S6=7k,S4=3k,
S67k7∴==. S43k3
2.[2017·甘肃兰州诊断]数列{an}的首项为a1=1,数列{bn}为等比数列且bn=1 10
b10b11=2 015 ,则a21=________.
- 8 -
an+1
,若an