发布时间 : 星期六 文章(课标通用)2018年高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和学案理更新完毕开始阅读
内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 §6.3 等比数列及其前n项和
考纲展示?
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
考点1 等比数列的判定与证明
1.等比数列的有关概念 (1)定义:
如果一个数列从第________项起,每一项与它的前一项的比等于________(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的________,通常用字母q表示,定义的表达式为
an+1
=q. an(2)等比中项:
如果a,G,b成等比数列,那么________叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?________.
答案:(1)2 同一个常数 公比 (2)G G=ab 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=________.
,q=1,??
(2)前n项和公式:Sn=?a1-qna1-anq=,q≠1.?1-q?1-q答案:(1)a1qn-1
2
(2)na1
[典题1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且
an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
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(2)求数列{bn}的通项公式. (1)[证明] ∵an+Sn=n,① ∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①,得an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1, ∴2(an+1-1)=an-1, ∴
an+1-11
=,∴{an-1}是等比数列. an-12
1
又a1+a1=1,∴a1=,又cn=an-1,
21
∴c1=a1-1=-. 2
11
∴{cn}是以-为首项,以为公比的等比数列.
22(2)[解] 由(1)可知,
cn=?-?·??n-1=-??n, 222
?1??1??????1???
?1?n∴an=cn+1=1-??.
?2?
∴当n≥2时,
bn=an-an-1=1-??n-?1-??n-1?
22
?1???
??
?1?????
?1?n-1?1?n?1?n=??-??=??. ?2??2??2?
1
又b1=a1=,代入上式也符合,
2
?1?n∴bn=??.
?2?
[点石成金] 等比数列的四种常用判定方法 (1)定义法:若
an+1an**
=q(q为非零常数,n∈N)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N),则anan-1
数列{an}是等比数列.
(2)中项公式法:若数列{an}中,an≠0且an+1=an·an+2(n∈N),则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·q则数列{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·q-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则数列{an}是等比数列.
nn-1
2
*
(c,q均是不为0的常数,n∈N),
*
- 2 -
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,得
a1+a2=S2=4a1+2.
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
??Sn+1=4an+2,①又?
?Sn=4an-1+2,②?
①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2), ∴an+1-2an=2(an-2an-1). ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,
故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列. (2)解:由(1)知,bn=an+1-2an=3·2∴
n-1
,
an+1an3
2
n+1-n=,
24
?an?13
故?n?是首项为,公差为的等差数列.
24?2?
an133n-1
∴n=+(n-1)·=, 2244
化简,得an=(3n-1)·2
n-2
.
考点2 等比数列的基本运算
(1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项公式an=________.
答案:3×2
n-3
解析:设等比数列{an}的公比为q,则
- 3 -
??a3=a1q=3,①?9
?a10=a1q=384,②?
7
2
②÷①,得q=128,即q=2, 3把q=2代入①,得a1=,
4∴数列{an}的通项公式为
an=a1qn-1=×2n-1=3×2n-3.
S61S9
(2)[教材习题改编]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=________.
S32S3
3
答案: 4
34
等比数列的两个非零量:项;公比.
(1)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第4项等于________. 答案:-24
解析:由等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)=x(6x+6),
解得x=-3或x=-1(此时3x+3=0,不合题意,舍去),则该等比数列的首项为x=-3x+3
3,公比q==2,所以第4项为(6x+6)×q=-24.
2
x(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=__________. 答案:-2
解析:∵S3+3S2=0, ∴a1+a2+a3+3(a1+a2)=0, ∴a1(4+4q+q)=0. ∵a1≠0,∴q=-2.
2
[考情聚焦] 等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择、填空题,也有解答题,难度适中,属中低档题.
主要有以下几个命题角度: 角度一
求首项a1,公比q或项数n
[典题2] [2017·浙江绍兴柯桥区高三二模]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a5
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