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高中新课程导学学案·数学（必修1）·第一章·集合与函数
g(x),F(x),G(x)等。 （2）f(x)与f(1)的含义不同。 f(x)是变量x的函数，在一般情况下是一
个变量；而f(1)是自变量为1时所对应的函数值，是一个常量。
例题3 已知函数f(x)?2x?1?7x (1)求f(0),f(1),f(1711); (2)求函数的定义域.
【思维切入】(1)只要将函数式中x分别换成
0,17,111,求出值即可;(2)函数的定义域就是保证式子有意义的x的取值集合.
【解析】(1)f(0)??1;
f(17)?21277?7; f(11711)?211?1?11?0. (2)要使函数有意义,则
??x?0?1?7x?0,即0?x?17.所以函数的定义域为{x|0?x?17}.
精彩反思 理解函数概念,要注意函数三要素:定义域,值域,对应法则,其中对应法则是核心.通俗的说,f就是对自变量x进行“操作”的“程序”,按照这一“程序”从集合A中任一x,可得出B中唯一y与之对应.同一f可以操作不同的变量,如f(x)是对x进行操作,而f(x2)则是对x2进行操作.
【自我测评】
下列用图标给出的函数关系中,当x=6时,对应的函数值y等于( )
x 0?x?11?x?55?x?10x?10 y 1 2 3 4 A2 B3 C4 D无法确定
2.在上面的图表中,函数的定义域是( ) A{x|0?x?10} B{x|0?x?10}
C{x|x?0} D {x|x?10}
3.已知函数f(x)???x?1(x?1)??x?3(x?1),则
f(52)=( ) A 12 B32 C 592 D 2 4.某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数,则y=_______,其定义域为____________. 5.已知函数f(x)?x2?5x?2,求:
(1)f(3);(2)f(?2);(3)f(a).
【拓展迁移】
思维提升
6.已知函数f(x)?x2?4x?5,f(a)?10,求a的值.
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一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步. ——马克思
视野拓展
20世纪著名数学家诺伯特·维纳，在博士学位的授予仪式上，当执行主席当面询问他的年龄时，维纳的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、
3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”
§1.2.1函数的概念 （第二课时）
【课标定向】
学习目标
了解构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则；会用区间表示函数的定义域，值域. 提示与建议
1.两个函数当且仅当它们三要素完全相同时，才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域，对应法则是否相同.
2.求函数的定义域就是求使这个函数有意义的自变量的取值集合.
3.“?”是一个符号，而不是一个数.
4.区间表示的是连续数集，不连续的数集不能用区间表示.
【互动探究】
自主探究
1.把下列数集用区间表示： （1）{x|x??1}； （2）{x|x?0}； （3）R.
2.函数y?1?x?x的定义域是( )
A{x|x?1} B{x|x?0}
C{x|x?0或x?1} D{x|0?x?1} 剖例探法 ★ 讲解点一 函数三要素的应用 函数的三要素指定义域，值域，对应法则. 两
个函数当且仅当它们三要素完全相同时，才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域，对应法则是否相同.
例题1 试判断下列函数是否为同一函数: (1)f(x)?|x|x与g(x)???1,x?0,??1,x?0; (2)f(x)?xx?1与g(x)?x(x?1); (3)（fx)=x2-2x-1与（gt)=t2-2t-1; (4)f(x)?1与g(x)?x0(x?0).
【思维切入】对于两个函数, 当且仅当它们
三要素完全相同时，才表示同一函数.判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域，对应法则是否相同. 【解析】(3)是,(1)(2)(4)不是.
对(1)来说,f(x)的定义域为[0,??),而
（gx)的定义域为R;对于(2), f(x)的定义域为[0??,,)而g（x)的定义域为
(??,?1]?[0,??),定义域也不同;
(4)中的f(x)的定义域为R, （gx)的定义域为{x|x?0},因此也不是同一函数.
(3)中两个函数尽管自变量一个用x一个用
t表示,但它们的定义域相同,对于定义域中的同一个变量,根据对应法则都能得到同一个函数值,因此二者是同一个函数.
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高中新课程导学学案·数学（必修1）·第一章·集合与函数
【规律技巧总结】判段两个函数是否是同一
个函数,首先要看二者的定义域是否相同,其次再看其对应法则,尤其注意形式不同的对应法则是否仍是同一对应法则. ★讲解点二 区间的应用
区间是研究函数时常用的概念,它的优点是简洁直观.区间表示的是数集,但并不是所有的数集都可以用区间表示,如:{1,2,3}就不能用区间表示.用区间时要特别注意是否包含区间的端点,如(1,2)和(1,2]是不同的区间. 例题2 把下列数集用区间表示: (1){x|?1?x?1或1?x?5}; (2){x|0?x?1或2?x?4}.
【思维切入】根据区间的定义进行“翻译”即可. 【解析】
(1){x|?1?x?1或1?x?5} ={x|?1?x?5}=(?1,5]. (2) {x|0?x?1或2?x?4} =(0,1)?[2,4).
【规律技巧总结】①用区间表示集合时需要注意区间端点的虚实；②区间的左端点必须小于右端点，且左右端点均为实数. ★讲解点三 求函数定义域
求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值集合.比如:分式的分母不能为0;偶次根式的被开方数不小于0等. 例题3 求函数y=
31?1?x的定义域.
【思维切入】本题需要保证两个方面:一是被开方数1?x?0,二是分母1?1?x不等于0.
【解析】要使函数有意义,须
???1?x?01?1?x?0解得x?1且x?0. ??
所以函数的定义域为(-?，0)?(0,1] 【规律技巧总结】①求函数的定义域，一般转化为解不等式或不等式组问题；②求定义域最后的结果需要用集合或区间表示. 精彩反思
求函数定义域的原则:
(1) 当f(x)以表格的形式给出时,其定义域指表格中的x的集合;
(2)当f(x)以图象的形式给出时,其定义域有图象范围决定;
(3) 当f(x)以解析式给出时,其定义域由使解析式有意义的x的集合构成;
(4)在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定.
【自我测评】
1.下列函数中表示同一函数的是（ ）
x2A f(x)=x 与 g(x)=x
B f(x)=|x| 与 g(x)=x2
Cf(x)=x2?1与g(x)=x?1? x?1
D f(x)=x0
与g(x)=1
2.下列各式中，函数个数为（ ） （1）y?3 （2）y?x?2?1?x； （3）y???x?1(x?0)?1(x?0)；
?x（4）y???0(x为有理数）。
?1(x为无理数）A 4 B 3 C 2 D 1
3.已知f(x)=x2
+1,则f[f(-1)]=______ 4.将下列集合用区间表示出来: （1）{x|x?1?0}； （2）{x|x??1,且x?2}.
【拓展迁移】
思维提升
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一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步. ——马克思
5.求函数y?
视野拓展
x?1?x?1的定义域.
国际数学家大会（简称ICM）是国际数学界四年一度的大集会。在会上颁发菲尔兹奖奖章和奖金，同时颁发奖励信息科学方面的奈望林纳奖。1998年在德国柏林举行的第23届国际数学家大会上，国际数学家联合会决定设置高斯奖这一奖项。
§1.2.2函数的表示法
(第一课时)
【课标定向】
学习目标 会根据需要选择恰当的方法(如图象法,列表法,解析式法)表示函数;了解分段函数的简单应用. 提示与建议
各种表示方法都有各自的优点和缺点,需要根据问题的实际需要灵活选择.
缺点:只能近似求出自变量对应的函数值,而且有时误差较大. 3.解析法
如果函数时用一个式子表示的,这种表示函数的方法就叫做解析法.
优点:简洁,全面的概括了变量间的关系,同时,通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值.
缺点:不够形象,直观,具体,而且并不是所有的函数都可以用解析法表示出来.
例题1 作下列函数的图像,并写出函数的值域:
(1)y?1?x,x?Z; (2)y?|x?1|;
(3)y?2x?4x?3,0?x?3.
【思维切入】(1)图象是分布在直线
2【互动探究】
自主探究
1.函数的表示方法,常用的有______,____,____.
2.下列函数适合用哪种方法表示? (1)银行中表示利息为存期的函数;
(2)2000年到2009 年10年中各年的国民生产总值随时间变化的函数;
(3)气象台用自动记录仪器描绘温度随时间变化的函数.
剖例探法
★讲解点一 函数的表示方法
表示的函数的方法,常用的有列表法,图象法,解析法三种. 1.列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数的方法叫列表法.
优点:可以直接看出与自变量的值对应的函数值,这种表格经常用到生产和生活中.
缺点:它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系. 2.图象法
优点:能形象的表示出函数随自变量变化的趋势.
yxy?1?x上的孤立的点;(2)图像是折线;(3)
图象是一段曲线. y1xo【解析】
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