发布时间 : 星期二 文章传染病的传播及控制分析数学建模更新完毕开始阅读
1、控制前阶段：
前两天，患者没有住院，疑似患者没有被隔离，患者可以随意接触和感染正常人。分析控制前?t阶段时间内，疫情的发展与变化。 （1）正常人-----疑似患者：
控制前阶段病人尚未被隔离，所以疫情发展比较迅速，此时病人人均每天接触r个正常人，假设t时刻病人人数为I?t?，则新增疑似患者人数为?E，?E?I?t??r??t?r?I?t???t。 （2）疑似患者-----潜伏期：
疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者，病毒携带者会进入潜伏期，而非病毒携带者最终还是正常人。
设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为?，假设t时刻疑似患者人数为E?t?，潜伏期患者人数为Q?t?，则Q?t??E?t???，故新增潜伏期人数为?Q??E??。
（3）潜伏期-----确诊患者：
因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长，用?1表示这一特性。那么新增确诊患者人数为?I??1?Q?t???t，现在要确定?1，如果潜伏期天数为a1到a2，假设其变化到了一个稳定阶段，那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越多，其概率分布呈指数稳步增长，则每天有1??1?1/?a2?a1??e?t概率的人变为猪流感患者，即?1?1??1?1/?a2?a1??e?t。所以新增患者人数：?I?1??1?1/?a2?a1??e?t??Q??t。 （4）确诊患者-----治愈、死亡：
设T为退出系统人数（治愈者和死亡者），如果治愈天数设为a3，那么a3天后病人要么死亡要么被治愈，而被治愈的人产生抗体，不再会被传染，所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。设系统退出率为a3，则有退出人数?T?I?t???2??t。?2的求解方法与?1相同，即随着天数的增加退出传染系统的人数也越来越多，则?2?1??1?1/a3??e?t。故新退出传染系统的人数?T??1?1/a3??e?tI?t???t。
根据上述的式子可进一步得出： （1）（?4）Q???E
Q(t??t)?Q(t)???r?I?t???t?(1?(1?1/(a2?a1))?e(?t))?Q(t)??t
?t?tI?t??t??I?t??1??1?1/?a2?a1???e????Q??t?(1?(1?(1/a3))?e??)?I?t???t?tt?T(1?(1?(1/a3?)??)e???)It ??t T?t?????t?所以得出以下：
dQ/dt???r?I?t??(1?(1?1/(a2?a1))?e?t)?Q(t)
?tdI/dt?(1?(1?1/(a2?a1))?e(?t)?Q?t??(1?(1?(1/a3))?e???I?t?
?tdT/dt??1??1?1/a3???e???I?t?
2、控制后阶段：
???? 5
两天之后，患者全部住院，疑似患者全部被隔离，剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后可以接触和感染正常人。分析控制后阶段?t时间内，疫情的发展与变化。
（1）正常人-----疑似患者：
控制后阶段，病人开始被隔离，所以疫情发展开始变慢，并受隔离强度p影响，此时病人每天接触的?E?r'?I?t???正常人数目r'也在变小，假设病人的数目为I?t?，则疑似患者数目。又因为接触率r'与隔离强度p有关，也呈指数分布，
?pt所以r'?r?e，故新增疑似患者的数目?E?r?e?pt?I?t???t。 （2）疑似患者-----潜伏期：
控制后阶段，疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例?不会改变。假设t时刻疑似患者人数为E?t?，潜伏期患者人数为Q?t??E?t??u，故新增潜伏期人数为?Q??E?u。
（3）潜伏期-----确诊患者：
潜伏期患者变为确诊患者的过程与控制前时刻相同，所以新增患者人数?I?1??1?1/?a2?a1???e?t??Q??t。
（4）确诊患者-----治愈者、死亡者：
同样退出传染系统的人数不变，则新增退出传染系统的人数?T??1?1/a3??e?tI?t???t。
（1）（?4）根据上述可进一步求得出：
Q???E
?pt?tQ?t??t??Q?t????r?e???I?t???t?1??1?1/?a2?a1???e???Q?t???t
?t?tI?t??t??I?t??1??1?1/?a2?a1???e???Q?t???t?(1?(1?(1/a3))?e???I?t???t整理后得： ?pt?tdQ/dt???r?e???I?t??1??1?1/?a2?a1???e???Q?t?
?t?tdI/dt?1??1?1/?a2?a1???e???Q?t??(1?(1?(1/a3))?e??)?I?t?
?tdT/dt?(1?(1?(1/a3))?e??)?I?t?
??????????5.3 传染病模型的求解：
1、控制前：
通过对模型的推导，我们发现不能给出每个函数的解析解，因此考虑利用Matlab中的ode系列函数进行求解。
首先，对传染病模型进行标准化，再带入参数，并由此建立微分方程组函数文件，随后用ode函数对该文件进行调用，即可得到微分方程组的解向量，然后利用plot函数画出此解向量即可得到各类人群岁时间变化的曲线图。 控制前患者人数随时间变化的关系如下图所示：
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患者随时间的变化8000700060005000患者/人4000300020001000000.20.40.6
0.811.2时间/天1.41.61.82
图2 控制前患者的人数随时间的变化
由上图可以看出控制前还未采取任何措施时，患者的人数迅速增加，类似于指数型增长曲线。这是由于在开始的两天，患者两天后才入院，疑似患者两天后才被隔离缺乏。一方面，他们将病原体迅速地传染给了健康人；另一方面，他们由于缺乏治疗，无法被治愈。当时，患者的数量越来越多，增长速度越来越快。基本符合实际情况，可见模型的合理性。 2、控制后：
（1）当p?0.4隔离强度时，患者人数随时间变化的关系如下图所示：
109876患者/人x 104患者随时间的变化max p=0.4 t=6.5994 ymax=93701.217454321005101520时间/天253035
图3 控制后p?0.4时患者人数随时间的变化
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由上图分析可知，两天后，对患者进行入院隔离，对疑似患者进行部分隔离，使得新进入潜伏期的人数在减少。因此，由于时间的延迟，患者人数的迅速增长，并在接下来的几天内达到峰值，随后逐渐下降最后平缓的趋于零。患者人数在增长趋于缓慢的几天后到达一个峰值。我们求得当隔离率为p=0.4时，患者人数大致在7天时到达最大值93701，在25天时基本没有患者。
（2）改变隔离强度p=0.3为时，患者人数随时间变化的关系如下图所示：
21.81.61.41.2x 105患者随时间的变化max p=0.3 t=7.8604 ymax=186383.5753患者/人10.80.60.40.2005101520时间/天253035
图4 控制后p=0.3时患者人数随时间的变化
由上图分析可知，当p=0.3时，即隔离强度有所下降时，患者人数在前8天属于迅速增长趋势，但增长趋势慢慢减缓。大概在第8天，患者人数到达最大值186383，其后由于大量的患者被治愈且受感染的人数越来越少，导致患者人数显著下降，大概在28天之后基本没有患者。
（3）改变隔离强度p=0.6为时，患者人数随时间变化的关系如下图所示：
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