(完整word)2019年广东省高考数学二模试卷(理科) 联系客服

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若T~N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<T≤μ+σ)=0.6827,P(μ﹣2σ<T≤σ+2σ)=0.9545,P(μ﹣3σ<T≤μ+3σ)=0.9973.

【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.

【分析】(1)将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值,频率作为权重,加权平均即可. (2)抽样比为

,计算出各区间抽取的车辆数,找到随机变量X的所有可能的

取值,计算出每个X对应的概率,列分布列,求期望即可.

(3)根据频率分布直方图估计出方差,再结合(1)求出的期望,得到μ,σ2再根据其对称性处理即可.

【解答】解:(1)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010)×20=64,即10:04

(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知,抽取的10辆车中,在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20,60)这一区间内的车辆数,即(0.005+0.015)×20×10=4,所以X的可能的取值为0,1,2,3,4. 所以P(X=0)=

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==,

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P(X=4)==,

所以X的分布列为:

X P

所以E(X)=0×

0 +1×

1

+4×

2 =.

3

4

+2×+3×

(3)由(1)得μ=64,

σ2=(30﹣64)2×0.1+(50﹣64)2×0.3+(70﹣64)2×0.4+(90﹣64)2×0.2=324, 所以σ=18,估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在[46,100)通过的车辆数, 由

T~N(64,182),得,P(64﹣18≤T≤64+2×18)=

+

=0.8186,

所以估计在在9:46~10:40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆.

【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布列,超几何分布,正态分布等知识,阅读量大,审清题意是关键,属于中档题. 21.(12分)已知函数(1)讨论函数

在(1,+∞)上的单调性;

(2)若a≥0,不等式x2f(x)+a≥2﹣e对x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围. 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.

【分析】(1)x>0,

在(1,+∞)上的单调性.

.利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数

(2)推导出xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0对x∈(0,+∞)恒成立,设h(x)=xlnx﹣ax+a+a﹣2,则h′(x)=lnx+1﹣a,由此利用导数性质,结合分类讨论思想能求出a的取值范围. 【解答】解:(1)∵函数

若a≤﹣,∵x>1,∴lnx>0,∴g′(x)<0,

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.∴x>0,

∴g(x)在(1,+∞)上单调递减,

若a>﹣,令g′(x)=0,得x=,

当1<x<e时,g′(x)>0,当x>时,g′(x)<0,

).

∴g(x)的单调递减区间是(,+∞),单调递增区间为(1,

(2)a≥0,不等式x2f(x)+a≥2﹣e对x∈(0,+∞)恒成立, ∴xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0对x∈(0,+∞)恒成立, 设h(x)=xlnx﹣ax+a+a﹣2,则h′(x)=lnx+1﹣a, 令h′(x)=0,得x=ea1,

当x∈(0,ea1)时,h′(x)<0,当x∈(ea1,+∞)时,h′(x)>0,

∴h(x)的最小值为h(ea1)=(a﹣1)ea1+a+e﹣2﹣aea1=a+e﹣2﹣ea1,

令t(a)=a+e﹣2﹣ea1,则t′(a)=1﹣ea1,令t′(a)=0,得a=1,

当a∈[0,1)时,t′(a)>0,t(a)在[0,1)上单调递增, 当a∈(1,+∞)时,t′(a)<0,t(a)在(1,+∞)上单调递减, ∴当a∈[0,1)时,h(x)的最小值为t(a)≥t(0)=e﹣2﹣

当a∈[1,+∞)时,h(x)的最小值为t(a)=a+e﹣2﹣ea1≥0=t(2), ∴a的取值范围是[0,2].

【点评】本题考查函数单调性的讨论,考查实数的取值范围的求法,考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是难题. 选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4:坐标系与参数方程]

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴为正半轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12=0. (1)求曲线C的直角坐标方程;

(2)过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ=﹣1的垂线,垂足分别为M,N,求|PM|+|PN|的最大值.

【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.

【分析】(1)由ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12=0,得x2+y2﹣4x﹣6y+12=0,即(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程.

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(2)由(1)可设P的坐标为(2+cosα,3+sinα),0≤α<2π,求出|PM|和|PN|后相加,用三角函数的性质求得最大值.

【解答】解:(1)由ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12=0,得x2+y2﹣4x﹣6y+12=0, 即(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程. (2)由(1)可设P的坐标为(2+cosα,3+sinα),0≤α<2π, 则|PM|=3+sinα,

又直线ρcosθ=﹣1的直角坐标方程为x=﹣1, 所以|PN|=2+cosα+1=3+cosα, 所以|PM|+|PN|=6+故当α=

sin(α+

),

时,|PM|+|PN|取得最大值为6+

【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题. [选项4-5:不等式选讲]

23.设函数f(x)=|x+1|+|2﹣x|﹣k.

(1)当k=4时,求不等式f(x)<0的解集; (2)若不等式

对x∈R恒成立,求k的取值范围.

【考点】6P:不等式恒成立的问题;R5:绝对值不等式的解法.

【分析】(1)k=4时,利用分类讨论思想求出不等式f(x)<0的解集,再求它们的并集;

(2)利用绝对值不等式的性质求出f(x)的最小值,再把不等式k≥

化为3﹣

求不等式的解集即可.

【解答】解:(1)k=4时,函数f(x)=|x+1|+|2﹣x|﹣4,不等式f(x)<0化为|x+1|+|2﹣x|<4,

当x<﹣1时,不等式化为﹣x﹣1+2﹣x<4,解得﹣<x<﹣1, 当﹣1≤x≤2时,不等式化为x+1+2﹣x=3<4恒成立,则﹣1≤x≤2, 当x>2时,不等式化为x+1+x﹣2<4,解得2<x<, 综上所述,不等式f(x)<0的解集为(﹣,); (2)因为f(x)=|x+1|+|2﹣x|﹣k≥|x+1+2﹣x|﹣k=3﹣k,

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