(完整word)2019年广东省高考数学二模试卷(理科) 联系客服

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即有4b2=15(4a2﹣4ac+c2)=4(c2﹣a2), 化为11c2﹣60ac+64a2=0, 由e=可得11e2﹣60e+64=0, 解得e=

或e=4,

由2a﹣c>0,可得c<2a,即e<2,可得e=4舍去. 故答案为:

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率的求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题.

三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤,第17-21题为必考题,每道题考生都必须作答,第22、23题为选做题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.

17.(12分)已知Sn为数列{an}的前n项和,且(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列

的前n项和Tn.

依次成等比数列.

【考点】8E:数列的求和.

【分析】(1)运用等比数列的中项性质,令n=1,可得首项,再由数列的递推式:当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,计算可得所求通项公式; (2)求得

=(

),再由数列的裂项相消求和,

化简计算可得所求和. 【解答】解:(1)可得(

)2=Sn=(n+2)(a1﹣2)n,

依次成等比数列,

当n=1时,a1=S1=3(a1﹣2),解得a1=3,

当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+2)﹣(n﹣1)(n+1)=2n+1, 上式对n=1也成立,

则数列{an}的通项公式为an=2n+1; (2)

=(

),

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可得前n项和Tn=(﹣+﹣+…+=(﹣

)=

﹣)

【点评】本题考查等比数列中项性质和数列的递推式的运用,考查数列的裂项相消求和,化简整理的运算能力,属于基础题.

18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,PD⊥平面ABCD,∠PAD=∠DAB=60°,E为AB中点. (1)证明;PE⊥CD;

(2)求二面角A﹣PE﹣C的余弦值.

【考点】LW:直线与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.

【分析】(1)连结DE,BD,推导出DE⊥AB,PD⊥AB,从而AB⊥平面PDE,进而AB⊥PE,由此能证明PE⊥CD.

(2)设AC,BD交点为O,以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,过O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣PE﹣C的余弦值. 【解答】证明:(1)连结DE,BD,

∵四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,E为AB的中点, ∴DE⊥AB,

∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AB, 又DE∩PD=D,∴AB⊥平面PDE, ∴AB⊥PE,

∵AB∥CD,∴PE⊥CD. 解:(2)设AC,BD交点为O,

以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,过O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,

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则P(﹣1,0,2=(﹣1,0),

,2

),A(0,﹣),=(

,0),E(,0),=(1,

,0),C(0,,0),

),=(

设平面APE的法向量=(x,y,z),

则,取z=1,得=(),

设平面PCE的法向量=(x,y,z),

则,取y=1,得=(3,1,2),

设二面角A﹣PE﹣C的平面角为θ,由图知θ为钝角, ∴cosθ=﹣

=﹣

=﹣

∴二面角A﹣PE﹣C的余弦值为﹣.

【点评】本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=6y与直线l:y=kx+3交于M,N两点.

(1)设M,N到y轴的距离分别为d1,d2,证明:d1和d2的乘积为定值;

(2)y轴上是否存在点p,当k变化时,总有∠OPM=∠OPN?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】KN:直线与抛物线的综合.

【分析】(1)先将y=kx+3代入x2=6y,设M(x1,y1),N(x2,y2),结合韦达定理,

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即可证明结论成立;

(2)先设设P(0,b)为符合题意的点,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,由∠OPM=∠OPN,得当k变化时,k1+k2=0恒成立,进而可求出结果 【解答】解(1)证明:将y=kx+3代入x2=6y,得x2﹣6kx﹣18=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=﹣18, 从而d1d2=|x1|?|x2|=|x1x2|=18为定值. (2)解:存在符合题意的点,证明如下:

设P(0,b)为符合题意的点,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,. 从而k1+k2=

+

当b=﹣3时,有k1+k2=0对任意k恒成立,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,﹣3)符合题意.

【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题,通常需要联立直线与抛物线方程,结合韦达定理等求解,属于中档题.

20.(12分)2019年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示,其中时间段9:20~9:40记作区[20,40),9:40~10:00记作[40,60),10:00~10:20记作[60,80),10:20~10:40记作[80,100),例如10点04分,记作时刻64.

(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);

(2)为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车随机抽取4辆,设抽到的4辆车中,在9:20~10:00之间通过的车辆数为X,求X的分布列与数学期望;

(3)由大数据分析可知,车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).

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