发布时间 : 星期日 文章高考理科数学一轮复习练习-直线、平面平行的判定与性质更新完毕开始阅读
A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E点为B1D1的中点,所以E点的坐标为(0.5,0.5,1).
??????? ??????? ??????? ??????? 设面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),而该面上向量??1E=(0.5,0.5,0),??1D=(0,1,-1),由n1⊥??1E,n1⊥??1D得r1,s1,t1应满足的方程组{所以可取n1=(-1,1,1).
??????? 设面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),而该面上向量????????? ??1??1=(1,0,0),??1D=(0,1,-1),由此同理可得n2=(0,1,1).所
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以结合图形知二面角E-A1D-B1的余弦值为|??1|·|??=|
1
2
0.5??1+0.5??1=0,
(-1,1,1)为其一组解,
??1-??1=0,
|??·??|2√3×√=. 23
√6本题考查直线与直线的平行关系以及二面角的求解,考查空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能
力.正确求解各点坐标以及平面法向量是解决问题的关键.
9.(2014课标Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√3,求三棱锥E-ACD的体积.
解析 (1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO. 因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点. 又E为PD的中点,所以EO∥PB.
又EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC.
????? 的方向为x轴的正方(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,????????? |为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,√3,0),E(0,向,|????
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√31????? √31
,,????=,). )(0,2222
????? =(m,√3,0). 设B(m,0,0)(m>0),则C(m,√3,0),????设n1=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量,
????? =0,????+√3y=0,??1·AC√3则{即{√3可取n1=(,-1,√3). 1??????? =0,y+z=0,??1·AE22又n2=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量, 由题设得|cos
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33+4??
2=,解得m=.
12
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因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为2. 三棱锥E-ACD的体积V=3×2×√3×2×2=8.
思路分析 (1)在平面AEC内找出与PB平行的直线,分析题意可通过作三角形的中位线进行证明;(2)要求三棱锥E-ACD的体积,易知三棱锥的高,又已知底面直角三角形的一直角边AD的长,故只需求出另一直角边CD的长.可建立空间直角坐标系,利用向量法列方程(组)求解.
易错警示 对于第(2)问,二面角的平面角与两个半平面的法向量夹角相等或互补,部分同学容易错误认为仅相等,另外,计算法向量时可能出错.
1
1
3
1√31
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2019四川泸州质检,7)已知直线l和两个不同的平面α,β,则下列命题中,是真命题的是( ) A.若l∥α,且l∥β,则α∥β C.若l?α,且α⊥β,则l⊥β 答案 B
B.若l⊥α,且l⊥β,则α∥β D.若l∥α,且α∥β,则l∥β
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2.(2019内蒙古赤峰4月模拟,6)已知α和β是两个不同平面,α∩β=l,l1,l2是与l不同的两条直线,且l1?α,l2?β,l1∥l2,那么下列命题正确的是( ) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l恰与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 答案 A
3.(2019河南郑州一模,10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,AB⊥AC,点M,N分别为AB1,A1C上的动点,若直线MN∥平面BCC1B1,Q为线段MN的中点,则点Q的轨迹是( ) A.双曲线的一支(一部分) C.线段(去掉一个端点) 答案 C
4.(2020届吉林长春9月联考,10)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD内一动点,若直线D1P与平面EFG不存在公共点,则三角形PBB1的面积的最小值为( )
B.圆弧(一部分) D.抛物线的一部分
A.2 √2
B.1 C.√2 D.2
答案 C
二、填空题(共5分)
5.(2019豫北名校4月联考,14)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点,若平面BC1D∥平面AB1D1,则????= .
????
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答案 1
三、解答题(共60分)
6.(2018江西南昌二中月考,19)在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=90°,AB=AC=√2,AA'=1,点M,N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)证明:MN∥平面A'ACC'; (2)求三棱锥A'-MNC的体积.
解析 (1)证法一:连接AB',AC',
因为三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,所以M为AB'的中点. 又因为N为B'C'的中点,所以MN∥AC', 又MN?平面A'ACC',AC'?平面A'ACC', 所以MN∥平面A'ACC'.
证法二:取A'B'的中点P,连接MP,NP. 又因为M,N分别为A'B和B'C'的中点,
所以MP∥BB',NP∥A'C',易知AA'∥BB',所以MP∥AA'. 因为MP?平面A'ACC',AA'?平面A'ACC', 所以MP∥平面A'ACC',同理,NP∥平面A'ACC'. 又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A'ACC'. 又MN?平面MPN,因此MN∥平面A'ACC'.
(2)连接BN,由题意知A'N⊥B'C',因为平面A'B'C'∩平面B'BCC'=B'C',平面A'B'C'⊥平面B'BCC', 所以A'N⊥平面NBC.又A'N=2B'C'=1, 1
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