发布时间 : 星期六 文章高考理科数学一轮复习练习-直线、平面平行的判定与性质更新完毕开始阅读
解析 (1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.
延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.
理由如下:
由已知,BC∥ED,且BC=ED. 所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.又EB?平面PBE,CM?平面PBE, 所以CM∥平面PBE.
(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)解法一:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD. 所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以∠PDA=45°.
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH. 易知PA⊥平面ABCD,又CE?平面ABCD, 从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH. 所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,所以AH=2. 在Rt△PAH中,PH=√????2+A??2=
3√2, 2
√213
所以sin∠APH=
????1????3
=. 解法二:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD. 从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以∠PDA=45°.
由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD. 设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
????? 的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 作Ay⊥AD,以A为原点,以????? ????,????
则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0), ????? =(1,1,0),????????? =(0,0,2). ????? =(1,0,-2),????所以????
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z), ???? =0,??-2??=0,??·PE
由{得{
???? =0,??+??=0,??·EC设x=2,解得n=(2,-2,1).
设直线PA与平面PCE所成角为α, 则sin α=
????? ||??·AP21
==. ????? |2×√22+(-2)2+123|??|·|AP
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所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为. 思路分析 对(1),延长AB,DC相交于一点M,则M在平面PAB内,由已知易知CM∥EB,从而CM∥平面PBE.对(2),有两种解法:解法一是传统几何方法,作出PA与面PCE所成的角,然后通过解三角形求值;解法二是向量法,建立空间直角坐标系,求出面PCE的一个法向量n,利用sin α=
????? ||??·AP
求值. ????? ||??|·|AP
C组 教师专用题组
1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
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A.m∥l 答案 C
B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
2.(2015安徽,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
···
···
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
···
···
答案 D
3.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB. 又因为EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, BC?平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD. 因为AD?平面ABD,所以BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC, 所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC,所以AD⊥AC.
方法总结 立体几何中证明线线垂直的一般思路: (1)利用两平行直线垂直于同一条直线(a∥b,a⊥c?b⊥c);
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(2)线面垂直的性质(a⊥α,b?α?a⊥b).
4.(2016江苏,16,14分) 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC. 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点, 所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又因为DE?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F, 所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1. 因为A1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1, 所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F. 因为直线B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
5.(2015江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E. 求证:(1)DE∥平面AA1C1C; (2)BC1⊥AB1.
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