发布时间 : 星期二 文章2018版高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用理更新完毕开始阅读
4cb所以＋≥2bc4cb·＝4.
bc4cb当且仅当＝时等号成立．
bc2141
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
33bc(2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝
n?1＋n?
2
，
n?1＋n?
Sn＋8
∴＝an1(22
16
2
＋8
n9
116
＝(n＋＋1)≥ 2nn·＋1)＝，
n2
当且仅当n＝4时取等号． ∴
Sn＋89的最小值是. an2
命题点2 求参数值或取值范围
31m例5 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
aba＋3bA．9 B．12 C．18 D．24
x2＋ax＋11*
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N，f(x)≥3恒成立，则a的取值
x＋1
范围是________．
8
答案 (1)B (2)[－，＋∞)
331m解析 (1)由＋≥，
aba＋3b319ba得m≤(a＋3b)(＋)＝＋＋6.
abab9ba9ba又＋＋6≥29＋6＝12(当且仅当＝时等号成立)，
abab∴m≤12，∴m的最大值为12.
x2＋ax＋118
(2)对任意x∈N，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－(x＋)＋3.
x＋1x*
817*
设g(x)＝x＋，x∈N，则g(2)＝6，g(3)＝. x317
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，
3
9
88
∴－(x＋)＋3≤－，
x3
88
∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞)．
33
思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
(1)(2016·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，
0]∪[4，＋∞)，则a的值是( ) 13
A. B. C．1 D．2 22
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，14
则＋的最小值为( )
axmn35925A. B. C. D. 2346答案 (1)C (2)A
解析 (1)由题意可得a>0，
①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号； ②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2a＋2， 当且仅当x＝－a时取等号，
axax?2－2a＝0，所以?
?2a＋2＝4，
解得a＝1，故选C.
6
5
4
(2)由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q＝a1q＋2a1q， 所以q－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)． 因为aman＝4a1，所以q所以2
m＋n－2
4
2
m＋n－2
＝16，
＝2，所以m＋n＝6.
14114所以＋＝(m＋n)(＋) mn6mn 10
1n4m＝(5＋＋) 6mn1
≥(5＋26
n4m3·)＝. mn2nn4m当且仅当＝时，等号成立，
m又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意． 143故＋的最小值等于. mn2
9．利用基本不等式求最值
12
典例 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．
xy3
(2)函数y＝1－2x－(x<0)的值域为________．
x错解展示
12
解析 (1)∵x>0，y>0，∴1＝＋≥22
xyxy，
∴xy≥22，∴x＋y≥2xy＝42， ∴x＋y的最小值为42.
33
(2)∵2x＋≥26，∴y＝1－2x－≤1－26.
xx3
∴函数y＝1－2x－(x<0)的值域为(－∞，1－26]．
x答案 (1)42 (2)(－∞，1－26] 现场纠错
解析 (1)∵x>0，y>0， 12
∴x＋y＝(x＋y)(＋)
xyy2x＝3＋＋≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，
xy∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋22. 33
(2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2
xx3
?－2x?·＝1＋26，当且仅
－x 11
当x＝－
63
时取等号，故函数y＝1－2x－(x<0)的值域为[1＋26，＋∞)． 2x答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)
纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.
1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( A．a＋b≥2ab B.a＋bba≥2 C．|a＋b|≥2 D．a2
＋b2
ba>2ab
答案 C
解析 因为a和b同号，所以|a＋b|＝|a|＋|bbababa|≥2. 2．下列不等式一定成立的是( ) A．lg(x2
＋14)>lg x(x>0)
B．sin x＋
1
sin x≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2
＋1≥2|x|(x∈R) D.
1
x2
＋1
>1(x∈R) 答案 C
解析 当x>0时，x2
＋114≥2·x·2＝x，
所以lg(x2
＋14)≥lg x(x>0)，
故选项A不正确；
运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定， 故选项B不正确；
由基本不等式可知，选项C正确； 当x＝0时，有1
x2
＋1
＝1，故选项D不正确． )
12