2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第7讲 函数的奇偶性和周期性及答案 联系客服

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2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第7讲 函数的奇偶性和周期性及答案

1+x (1)由≥0,可知定义域为[-1,1).

1-x

定义域不关于原点对称,故f(x)是非奇非偶函数.

1-x

>0,得-1

(2)由

定义域(-1,1)关于原点对称,且f(-x)+f(x)=lg 1=0, 所以f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.

(1)利用定义判断奇偶性的步骤:

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(2)在运用定义判断奇偶性时,①若表达式较复杂可适当进行化简后判断(不得改变定义域);②判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.

(3)判断函数的奇偶性除定义法外,还要注意如下方法:

①图象法:f(x)的图象若关于原点对称,则f(x)为奇函数;若关于y轴对称,则f(x)为偶函数.

②性质法:如“奇±奇”是奇;“偶±偶”是偶;“奇·奇”是偶,“偶·偶”是偶,“奇·偶”是奇等.

2??x+x, x<0,1.(1)函数f(x)=?2的奇偶性是(A)

?-x+x, x>0?

A.奇函数 B.偶函数

C.非奇非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数

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(2)(经典真题)若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a= 1 .

(1)(方法一:利用奇偶性的定义判断)

当x<0时,-x>0,

f(-x)=-(-x)2+(-x)=-(x2+x)=-f(x); 当x>0时,-x<0,

f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-f(x).

所以对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数. (方法二:用奇偶函数的图象特征判断) 画出y=f(x)的图象,如图:

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其图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数. (2)利用奇偶函数的运算性质转化. 因为y=x是奇函数, 又f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数, 所以y=ln(x+a+x2)是奇函数,

所以ln(x+

a+x2)+ln(-x+a+x2)=0,

即ln(a+x2-x2)=ln a=0,解得a=1.

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奇偶性与单调性的综合应用