发布时间 : 星期一 文章2014北京市朝阳区高三二模理科数学试题和答案更新完毕开始阅读
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A,B两点的直线l：y?kx?m(k?R)，使得
1，右焦点到右顶点的距离2OA?2OB?OA?2OB成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，
请说明理由.
（20）（本小题满分13分）
已知x1，x2是函数f(x)?x2?mx?t的两个零点，其中常数m，t?Z，设
rTn??x1n?rx2(n?N?)．
r?0n（Ⅰ）用m，t表示T1，T2； （Ⅱ）求证：T5??mT4?tT3； （Ⅲ）求证：对任意的n?N,Tn?Z．
? 5
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试（理工类）
2014．5
一、选择题（满分40分） 题号 答案 题号 答案 9 1 B 10 2 C 11 3 C 4 D 12 5 D 6 A 13 7 C 8 B 14 二、填空题（满分30分） 23 ?80 3 82 383 2n?1 n(n?3) 2②③ 三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由S?ABC?所以c?5．
由a2?b2?c2?2bccosA得，a?3?5?2?3?5?cos2221bcsinA得，S?ABC?1?3?csin???153． 2234???49， 3所以a?7． ……………7分
73?ab?（Ⅱ）由得，3sinB， sinAsinB2 所以sinB?33． 142所以cos2B?1?2sinB?16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，
71． ……………13分 98参加社区服务时间在时间段?90,95?小时的学生人数为200?0.060?5?60（人）， 参加社区服务时间在时间段?95,100?小时的学生人数为200?0.020?5?20（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的
6
概率估计为P?60?20?80?2. ……………5分
2002005 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90
小时的概率为.
由已知得，随机变量?的可能取值为0,1,2,3．
003 所以P(??0)?C3()?()?2527； 125354121P(??1)?C3()?()2?；
551252336P(??2)?C32()2?()1?；
5512538323P(??3)?C3()?()0?．
551252535随机变量?的分布列为
? P 0 1 2 3 2754368 125125125125226 因为 ?~B(3，)，所以E??3??． ……………13分
55517．（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）如图，连结AC．
因为底面ABCD是正方形， 所以AC与BD互相平分． 又因为F是BD中点， 所以F是AC中点．
PEADFBCE是PA中点，F是AC中点，在△PAC中，
所以EF∥PC．
又因为EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC． ……………4分 （Ⅱ）取AD中点O．在△PAD中，因为PA?PD， 所以PO?AD．
因为面PAD?底面ABCD， 且面PAD面ABCD=AD，
7
所以PO?面ABCD．
因为OF?平面ABCD 所以PO?OF． 又因为F是AC中点，
所以OF?AD．
zPEAxODFBCy如图，以O为原点，OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
因为PA?PD?AD?2，所以OP?3，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，
13C(?1,2,0)，D(?1,0,0)，P(0,0,3)，E(,0,)，F(0,1,0)．
22于是AB?(0,2,0)，DE?(,0,323)，DF?(1,1,0)． 2因为OP?面ABCD，所以OP?(0,0,3)是平面FAD的一个法向量． 设平面EFD的一个法向量是n=(x0,y0,z0)．
?x0?y0?0,??n?DF?0,?y0??x0,?? 因为?所以?3即? 3z0?0,???z0??3x0.?x0??n?DE?0,2?2令x0?1则n=(1,?1,?3)． 所以cos?OP,n??OP?nOP?n??33?5?15． 515．…10分 5由图可知，二面角E-DF-A为锐角，所以二面角E-DF-A的余弦值为（Ⅲ）假设在棱PC上存在一点G，使GF?面EDF．设G(x1,y1,z1)，
则FG=(x1,y1?1,z1)． 由（Ⅱ）可知平面EDF的一个法向量是n=(1,?1,?3)． 因为GF?面EDF，所以FG=?n．
于是，x1??,y1?1???,z1??3?，即x1??,y1?1??,z1??3?． 又因为点G在棱PC上，所以GC与PC共线．
8