发布时间 : 星期一 文章2019年四川省自贡市中考数学试题(word版,含解析)更新完毕开始阅读
24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+…+22017+22018① 则2S＝2+22+…+22018+22019② ②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1 ∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29＝ 210﹣1 ； （2）3+32+…+310＝
；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
【分析】（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可； （3）利用（2）的方法计算．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+…+29① 则2S＝2+22+…+210② ②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1 ∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1； 故答案为：210﹣1
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①， 则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②， ②﹣①得2S＝311﹣1， 所以S＝
，
；
即1+3+32+33+34+…+310＝故答案为：
；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①， 则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②， ②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1， 所以S＝
，
，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．
25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G． ①线段DB和DG的数量关系是 DB＝DG ； ②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．
（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．
【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可；
②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； ②先同理得：BG＝
BD，计算BD的长，从而得BG的长，根据平行线分线段成比例定理可
得BM的长，根据线段的差可得结论． 【解答】解：（1）①DB＝DG，理由是： ∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，
由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD＝45°， ∴∠G＝45°，
∴∠G＝∠CBD＝45°， ∴DB＝DG； 故答案为：DB＝DG； ②BF+BE＝
BD，理由如下：
由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG， ∴△FDG≌△EDB（ASA）， ∴BE＝FG，
∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG， Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°， ∴CD＝CG＝CB， ∵DG＝BD＝
BC，
BD；
BD，
即BF+BE＝2BC＝
（2）①如图2，BF+BE＝
理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°， 由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG， 在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠DBG＝∠G＝30°， ∴DB＝DG，
∴△EDB≌△FDG（ASA）， ∴BE＝FG，
∴BF+BE＝BF+FG＝BG，
过点D作DM⊥BG于点M，如图2，
∵BD＝DG， ∴BG＝2BM，
在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，
∴BD＝2DM．
设DM＝a，则BD＝2a，
DM＝a， a，
＝
，
∴BG＝2∴∴BG＝
BD，
BD；
∴BF+BE＝BG＝
②过点A作AN⊥BD于N，如图3，
Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2， ∴AN＝1，BN＝∴BD＝2BN＝2∵DC∥BE， ∴
＝，
， ，
∵CM+BM＝2， ∴BM＝，
由①同理得：BE+BF＝BG＝∴BG＝
×
＝6，
．
BD，
∴GM＝BG﹣BM＝6﹣＝
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明△FDG≌△BDE是解本题的关键．
26．（14分）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．
（1）求抛物线C函数表达式；
（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形