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G(s)?s?51??0?11s?1 ?11???(s?1)?????22s(s?5)?6s?5s?6??6s??1?s?5s?61.17 给定系统的状态空间模型:
?0x???0???1?1y???0求系统的传递函数矩阵。
10??00??10?u?43?x??????1?2???01??
00?u01?? 答: 系统的传递函数为G(s)?C(sI?A)?1B。由于
(sI?A)?1因此，
0??s?1???0s?4?3???1s?2??1??1?s2?6s?11s?23?1??2?3?3s?2s3s ??2s?6s?11s?3?2?s?4?s?1s?4s???G(s)?C(sI?A)?1B
?s2?6s?11s?23??00?100???1???2?3?3s?2s3s10????? s?6s2?11s?3?001??2??s?4?s?1s?4s??01?????3??s?21?3?? 2s?6s2?11s?3??s?1s?4s?1.18 试用MATLAB软件求出下列传递函数的状态空间实现:
10s2?47s?160G(s)?3 2s?14s?56s?160 答: 执行以下的m-文件：
num=[0 10 47 160]; den=[1 14 56 160]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
得到：
??14?56?160??1??， B??0?， C??1047160?， D?0
A??100??????10??0??0??由此可知：
?1???14?56?160??x1??1??x?x??x???0?u ?2???100?????2?????3?10??x???0???x3????0?? 9
?x1??
y??1047160??x2????x3??1.19 试用MATLAB软件求以下系统的传递函数:
?x1??010??x1??0??????x???1?ux??1?102?????2?????x3????100????x3???x1y?[100]???x?2???x3?? 答: 执行以下m-文件：
A=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0];
B=[0;1;0];
C=[1 0 0]; D=0;
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
可得：
num = 0 0 1.0000 0 den = 1.0000 1.0000 1.0000 0
因此，系统的传递函数为
G(s)?ss3?s2?s1.20 试用MATLAB软件求以下系统的传递函数:
??x1??210???x????x1???02?020x??1?????2???x3????013????x3????0?y?[001]?x1??x?2???x3??答: 执行以下的m-文件：
A=[2 1 0;0 2 0;0 1 3]; B=[0 1;1 0;0 1]; C=[0 0 1]; D=[0 0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2) 可得要求的两个传递函数是
10
??0??
1?0???u1?1????u?2?
Y(s)s?2 ?3U1(s)s?7s2?16s?12Y(s)s2?4s?4 ?32U2(s)s?7s?16s?121.21 已知系统的状态空间模型为x?Ax?Bu,y?Cx，取线性变换阵为P，且x?Px，
写出线性变换后的状态空间模型。 答: 把x?Px代入x?Ax?Bu,y?Cx，得
Px?APx?Buy?CPx因此，线性变换后的等价状态空间模型为：
x?P?1APx?P?1Buy?CPx
1.22 线性变换是否改变系统的特征多项式和极点？简单证明之。 答: 假设系统的状态空间模型为
??Ax?Buxy?Cx?Du经过线性变换x?Tx后，系统的状态模型变为：
??Ax?Buxy?Cx?Du其中，
A?TAT?1，B?TB，C?CT?1，D?D
由于
det(sI?A)?det(sI?TAT?1)?det(sTT?1?TAT?1)?det(T)det(sI?A)det(T?1)?det(sI?A)故线性变换不会改变系统的特征多项式和极点。 1.23 已知以下微分方程描述了系统的动态特性:
y?3y?2y?u
（1） 选择状态变量x1?y,x2?y，写出系统的状态方程；
（2） 根据（1）的结果，由以下的状态变换:
x1?x1?x2x2??x1?2x2答: (1) 由x1?y,x2?y可得
确定新的状态变量x1,x2，试写出关于新状态变量x1,x2的状态空间模型。
11
?1?x2?x??2??3x2?2x1?u ?x?y?x1?写成矩阵向量形式，可得
?1??0??x1??x1??0?????u??????????x2???2?3??x2??1? ?x?y??10??1??x???2?? (2) 由于x1?x1?x2,x2??x1?2x2，即
?x1??11??x1??x????1?2??x?
??2??2??容易验证这是一个等价线性变换，故可得
?1???10??x1??1???x????????x????1?u0?2x??2????2??? ??y??11??x1??x???2??1.24 给定系统
1??0?0?x???x??d?u?a?b???? y??100?x试确定参数a,b和d的值，以使得该系统模型能等价地转换成以下的对角型
??30??1?z??z???1?u0?1???? y???55?z答: 由对角型状态空间模型可知
G(s)??551010???2 s?3s?1(s?3)(s?1)s?4s?3G(s)?10d
s2?bs?a而从原状态空间模型则可得传递函数
由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，故经比较系数可得：
a?3b?4 d?1 12