发布时间 : 星期六 文章2011年高考数学真题解析分项版圆锥曲线 文更新完毕开始阅读
cc12()2??1?0，即2e2?e?1?0，解得e?. aa2(Ⅱ)由（Ⅰ）知a?2c,b?3c,可得椭圆方程为3x2?4y2?12c2,直线PF2的方程为
y?3(x?c),
222?8c?3x?4y?12c2A,B两点坐标满足方程组?,消y整理得5x?8cx?0,解得x?0或,所
5??y?3(x?c)以
A,B两点坐标为(8c3316c,c),(0,?3c),所以由两点间距离公式得|AB|=, 555于是|MN|=
3|2?c|5|AB|=2c,圆心(?1,3)到直线PF2的距离d?,
28x2y2|MN|23222?1. 因为d?()?4,所以(2?c)?c?16,解得c?2,所以椭圆方程为?1612242【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.
x2y2??128. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆42的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
P （3）对任意k>0，求证：PA⊥PB 【解析】（1）因为M(?2,0)、N(0,2),
M A N C B x y 所以MN的中点坐标为(-1,2),又因为直线PA平分线段MN， 2所以k的值为?2. 2用心 爱心 专心 - 17 -
?y?2x2424?(2)因为k=2,所以直线AP的方程为y?2x,由?x2y2得交点P(,)、A(?,?),
3333?1???42因为PC⊥x轴，所以C（
22,0)，所以直线AC的斜率为1，直线AB的方程为y?x?，所以 33242|??|22点P到直线AB的距离d=333=.
32（3）法一：由题意设P(x0,y0),A(?x0,?y0),B(x1,y1),则C(x0,0)， A、C、B三点共线，?yy?y0y1?0?1,又因为点P、B在椭圆上，
x1?x02x0x1?x0x02y02x?xx12y12???1,??1，两式相减得：kPB??01
2(y0?y1)4242?kPAkPB?y0x?x(y?y0)(x0?x1)[?01]??1??1 x02(y0?y1)(x1?x0)(y0?y1)?PA?PB
法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B中点N(x0,y0),则P(-x1,?y1),C(-x1,0), A、C、B三点共线，?y2y?yy?21?1?kAB,又因为点A、B在椭圆上,
x2?x1x2?x12x1yx22y22x12y121???1,??1,两式相减得：0??,
x02kAB4242?kONkPA?y0y11???2kAB??1,ONPB,?PA?PB. x0x12kAB29. （2011年高考辽宁卷文科21) (本小题满分12分)
如图，已知椭圆C1的中心在圆点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C1的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C1交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.
用心 爱心 专心 - 18 -
（I）设e=
1，求|BC|与|AD|的比值； 2（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO//AN,并说明理由. 解析：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
x2y2b2y2x2C1:2?2?1,C2:4?2?1,?a?b?0?。
abaa设直线l:x?t(|t|?a)分别和C1，C2联立，求得A?t,?a22??b22?a?t?,B?t,a?t?。
?b??a?当e?31a，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知 时，b?222|yB|b23|BC|:AD|=??.
2|yA|a24（II）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即
b22a22a?ta?ta， ?btt?aab21?e2??2?a。 解得t??2a?b2e21?e2?e?1。 因为|t|?a，又0?e?1，所以2?1，解得2e所以当0?e?22?e?1时，时，不存在直线l，使得BO//AN；当存在直线l使得BO//AN。
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30.(2011年高考安徽卷文科17)（本小题满分13分）
，l2:y=k2x?1，其中实数k1?k2满足k1k2+2?0，设直线l1:y?k1x+1
（I）证明l1与l2相交；
（II）证明l1与l2的交点在椭圆2x+y=1上.
【命题意图】：本题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。
22?k1=k2 代入k1k2?2?0【解析】：（1）（反证法）假设l1与l2不相交，则l1与l2必平行，
得
2k1?2?0，与k1是实数相矛盾。从而k1?k2，即l1与l2相交。
（2）（方法一）由??y?k1x?1得交点p的坐标（x,y）为
y?kx?1?22?x??k2?k1?, ??y?k2?k1?k2?k1?而
22?2k1k2k12?k2?422k2?k128?(k2?k1)28?k12?k22x+y=2()?()????1 22k2?k1k2?k1(k2?k1)2k12?k2?2k1k2k12?k2?422所以l1与l2的交点p的（x,y）在椭圆2x+y=1上
22?y?k1x?1（方法二）l1与l2的交点p的（x,y）满足：?，x?0，从而
y?kx?1?2y?1?k??y?1y?1?1xkk?2?0??2?0，整理得 ，代入得?12xx?k?y?12?x?2x2+y2=1
所以l1与l2的交点p的（x,y）在椭圆2x+y=1上
【解题指导】：两直线l1:y?k1x+b1，l2:y=k2x?b2的位置关系判定方法：
用心 爱心 专心
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