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§1-3 有限单元法的分析步骤
（2009-11-12）
一、 简例
为使大家有个感性的认识，我们先来考查一个最简单的平面桁架(图1-1)。设杆件的截面积均为A，弹性模量为E，长度分别为l1、l2。桁架的铰链处受到外力X1、Y1、X2、Y2、
X3、Y3，在1点和3点固定铰支。求解内力。
a)集合体 b)桁架单元
图1-1 铰接桁架
由结构力学知，这是一个外一次静不定问题，三个平衡方程，四个支反力，要解之尚须补充一个变形协调条件或内力平衡条件。
从一般意义上讲，工程桁架结构多为静不定结构(分为外静不定和内静不定)，且随着杆件的增多，静不定的次数的增加，解题难度急骤增大。
可否找到一种通用的桁架计算法，编成程序，对每一个相同类型的桁架，只要输入几何参数，物理参数，外载和约束等，就可以输出内力和约束力。
根据桁架分析的自身特点，这并没有特别的困难。这就是桁架结构的有限单元法――结构矩阵法，有限单元法的最早实践形式。
具体步骤如下：
1． 将结构划分成典型单元的集合――离散化。
目的：将桁架划分成由相似小杆组成的组合体，便于进行标准化的分析。
根据桁架的特点，可将整体结构划分为杆件和铰链二部分。取每根杆件为一个单元(element)，其端部和铰链相联接处作为节点。相应的，铰链点本身也称为节点。为研究方便，
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将每个单元和节点编号。
对每个单元来讲，其内部不受力，仅在节点处承受铰链传递的作用力，在这里称之为节点力。这些节点力是因作用在铰链上的外载、约束等外部作用和相邻单元对铰链的作用所引起。如图1-1b中U11、V11、U21、V21分别为节点(铰链)1、2施加于单元1的节点力沿坐标X和
1Y方向分量。相应地，单元要发生位移，在节点处的位移分量为u11、v11、u1、v2。在这里，上2标表示单元的号码，下标表示节点号码。
如此每个单元虽方位不同，但都几何相似，且仅在节点处受力。
相应地，每个铰链(节点)所受的载荷为整体外载(约束、外力等)和单元给节点的作用力，在这里也称为节点力，其和单元上的节点力互为反作用力。
2． 分析每个单元上节点力和节点位移之间的关系――单元特性分析。 (1) 确定(或假设)单元的位移模式
因为杆件在二个节点处是铰接，只传递力，不传递力矩，且杆件上其他位置不受力。所以每个单元均是二力杆。
当断面积及材料性质均匀时，可认为杆件内产生均匀拉伸和压缩。现假定杆件的变形为均匀拉伸和压缩，则杆内各点的位移(u，v )可用二个节点位移线性插值获得。这是一个假设。
现以杆①为例有：
u?[(1?s1)u1?s1u2)]l1v?[(1?s1)v1?s1v2)]l1111111
?u?写成矩阵形式，有 ???v?(1)?1?(1?s1)l1?00s10?(1?s1)?u1??1?0??v1???1? s1??u2??v1??2?(1)1记为 ?f?(1)??N?(1)??? (1-1)
这里 s1为研究点到节点1 的距离，可理解为局部坐标；
T?f???u(1)v?为单元位移；
?N??1?(1?s1)l1?00s100?s1?T?(1?s1)?为形状函数矩阵；
???2
(1)???u11v11u21v2??为节点位移列阵。
1(2) 用节点位移表示单元应变
杆内的主要应变为轴向应变。在小变形条件下，只有轴向位移差才在杆中产生内力和应变。所以有
1111?(1)?[u2cos??v2sin??u1cos??v1sin?]l1
即 ?(1)?1l1??cos??sin?cos?sin????u11v11u21v2??
1T令 ?B?(1)?1l1??co?s?si?nc?os?s，in????(1)??(1)
有 ???(1)(1)(1)??B?(1)??? (1-2)
(1)式中，???为单元①的应变列阵，?B?为反映单元应变和节点位移之间关系的几何矩阵。
(3) 求单元应力的表达式 由虎克定律，单元应力为
11??E??E?B????
(1)(1)令 ???(1)??
(1)1?S?有 ???(1)?E?B?
(1)(1)???S??(1)??? (1-3)
(4) 求节点力和节点位移之间的关系 切断杆件暴露出内力。轴向力为
N1??1A?A?S?由平衡条件，可得
U1??Ncos?U1?Ncos?1111(1)??? (a)
(1)V1??Nsin?V2?Nsin?1111 (b)
将(a)式代入(b)式，整理后得
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?U11??1??V1?EA ?1??l1?U2??V1??2??cos2???cos?sin???cos2?????cos?sin?cos?sin?sin??cos?sin??sin?(1)1??U1?1V122?cos??cos?sin?cos?cos?sin?1U2221?cos?sin???u1???1?2?cos???v1??1? (1-4)
cos?sin???u2??12??sin????v2?令 ?F??1 V2?T?K?(1)?cos2??EA?cos?sin??l1??cos2?????cos?sin?cos?sin?sin??cos?sin??sin?(1)?cos??cos?sin?cos?cos?sin?(1)2222?cos?sin???2?cos?? (1-5) ?cos?sin??2sin???有 ?F?(1)???K??(1)(1)??? (1-6)
式中，?F?为单元①节点力列阵；??K??为单元①的单元刚度矩阵，其表示单元在节点
处发生单位位移时，各节点施于单元①上的节点力。
同理可以求得作用于单元②的节点力和位移之间的关系：
?U22??2??V2?EA ?2??l2?U3??V2??3??0?0??0??0010?1000020??u2???2??1?v2???? 0??u32??2?1???v3?于是单元②的刚度矩阵是
?0?EA?0?l2?0??0010?100000???1? 0??1??K?(2)3． 建立外载荷与节点位移的关系
分析各个节点的受力情况，可以看到，各个节点除受外载荷外，还承受环绕着它的各个单元给它的作用力，这些力和图1-1中所示节点给单元节点力大小相等，方向相反，互为反作用力。
? 结构处于平衡状态时，各节点亦应处于平衡状态。
? 同时，还注意到，各单元在同一节点处的位移应相等，即为节点的位移。所
以
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