发布时间 : 星期六 文章热统勾选习题（不含第九章）更新完毕开始阅读
上述结果显然也适用于双（多）原子分子气体，只要将U0和UV0理解为无外场时气体的内能和热容量. 当
mgH??1时，式（4）右方后两项相互消去而有 kT
0CV?CV. （5）
这意味着，当气柱不高，分子在气柱顶部（z=H）与底部（z=0）的重力势能差远小于热运动能量的情形下，气柱的热容量与无外场时的热容量是相同的.
当
mgH??1时，式（4）右方第三项趋于零，因此 kT
0CV?CV?nk. （6）
这意味着，当气柱很高，分子在气柱顶部与底部的重力势能差远大于热运动能量的情形下，气柱在重力场中具有附加的热容量Nk.
对于300K的空气，相应于情形下，
式（5）是适用的. 实际上大气温度随高度而降低，当气柱很高时，应用玻耳兹曼分布时所作的恒温假设并不成立.
7.21 定域系统含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级?0和?1??1??0?.求在温度为T的热平衡状态下粒子在两能级的分布，以及系统的内能和熵. 讨论在低温和高温极限下的结果. 解: 首先分析粒子在两能级的分布. 配分函数为
Z1?e???0?e???1?e???0mgH?1的H约为104m. 因此在通常kT?1?e????1??0??.??
处在两能级的最概然粒子数分别为
n0?e?????0?N???0N e?????1??0?Z11?e
?N1?e??T, （1）
n1?e?????1N???1Ne?10? ?e?????1??0?Z11?e??????Ne??T1?e??T, （2）
其中???1??0k是系统的特征温度. 式（1）和（2）表明，n0,n1随温度
的变化取决于特征温度与温度的比值，如图所示. 在低温极限T???下，n0?N,n1?0.粒子冻结在低能级. 在高温极限T???下，n0?n1?N，2意味着在高温极限下两能级级能量的差异对粒子数分布已没有可能觉察的影响，粒子以相等的概率处在两个能级.
系统的内能为
U??NN??1??0?? lnZ1?N?0????1??0???1?e?
?N?0?N??1??0?1?eT. （3）
在低温极限T???下，有
U?N?0.
在高温极限T???下，有
U?N??0??1?. 2这是容易理解的.
系统的热容量为
????T??eTC?Nk??. （4）
?2???T1?e????2?热容量随温度的变化如图所示. 在低温极限T???下，有
????TC?Nk??e,
?T?2?它趋于零. 在高温极限T???下，有
1???C?Nk??,
4?T?2也趋于零. 这结果也是易于理解的. 值得注意，C随温度的变化有一个尖峰，
其位置由
?C?0 ?T确定（大致在T~?附近）. 热容量这一尖峰称为热容量的肖脱基（Shottky）反常（解释见后）.
系统的熵为
???S?Nk?lnZ1??lnZ1?
????
???1??0?????????Nk?ln?1?e?10???. （5） ??1?e???1??0????S?0.
S随温度的变化如下图所示. 在低温极限下， 高温极限下，
S?Nkln2.
二能级系统是经常遇到的物理模型，§7.8介绍的顺磁性固体和§7.9介绍的核自旋系统是熟知的例子. §7.8着重讨论了顺磁性固体的磁性，§7.9则将核自旋系统看作孤立系统而讨论其可能出现的负温状态. 处在外磁场B
中的磁矩?具有势能-μ?B. 对于自旋为的粒子，能量为?B. 如果磁矩间的
相互作用能量远小于磁矩在外磁场中的能量，就形成二能级系统. 核磁子?N很小，使核自旋系统通常满足这一要求 在顺磁性固体中，许多情形下磁性原子（离子）被非磁性离子包围而处于稀释状态，也满足这一要求. 讨论固体中的二级级系统时往往假设二能级系统与固体的其他热运动（如晶格振动）近似独立. 低温下晶格振动的热容量按T3律随温度降低而减小（参阅§9.7）. 实验发现顺磁性固体的热容量在按T3律减少的同时，出现一个当时出乎意料的尖峰而被称为肖脱基反常. 如前所述，尖峰是处在外磁场中的磁矩发生能级分裂形成二能级系统引志的. 除了磁性系统外，二级级结构也存在于其他一些物理系统中. 例如，能级的精细结构使NO分子的基态存在特征温度为178K的二能级结构，从而影响其热力学特性. 参阅Landau, Lifshitz. Statistical Physics. §50. 二能级系统更是激光和量子光学领域的一个基本物理模型，不过其中讨论的不是热力学平衡状态了.
7.22 以n表示晶体中原子的密度。设原子的总角动量量子数为1，磁矩为?。在外磁场B下原子磁矩可以有三个不同的取向，即平行、垂直、反平行于外磁场。假设磁矩之间的相互作用可以忽略。试求温
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