发布时间 : 星期六 文章热统勾选习题（不含第九章）更新完毕开始阅读
其中
?l?aV, （2）
a?2?c?n?n?n2x2y122z?13?.
由此可得
代入压强公式，得
p???all??l1?41???aV3??l. （3） ?V33V??l1U?a??. （4） ?ll?V3Vl3V本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V函数关系的不同. 式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用. 7.6 晶体含有N个原子. 原子在晶体中的正常位置如图中的“O”所示. 当原子离开正常位置而占据图中的“?”位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子. 晶体的这种缺陷称为弗伦克尔（Frenkel）缺陷.
（a）假设正常位置和填隙位置都是N，试证明，由于在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于
S?2kInN!.
n!?N?n?!（b）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u. 试由自由能
F?nu?TS为极小证明，温度为T时，缺位和填隙原子数为
n?Ne?u2kT （设n??N）.
解: 固体中原子的相互作用使固体形成规则的晶格结构. 晶格的格点是原子的平衡位置. 当所有原子都处在其平衡位置时，固体的能量最低. 绝对零度下物质将尽可能处在其能量最低的状态. 由于
量子效应，绝对零度下原子并非静止在格点上而是围绕格点作零点振动. 温度升高时，一方面晶格振动会随温度升高而变得剧烈；另一方面有的原子会离开其正常的格点位置占据填隙位置，有的原子离开正常的格点位置占据晶体表面的格点位置而形成新的一层，使固体出现缺陷，前者称为弗伦克尔缺陷，后者称为肖脱基（Shottky）缺陷. 本题讨论弗伦克尔缺陷，肖脱基缺陷将在7.7题讨论.
（a）设晶体含有N个原子，晶格中正常的格点位置亦为N. 当
N??1时可以认为填隙位置与正常位置数目相同. 当固体的N个正常
位置出现n个缺位
时，由于缺位位置的不同，可以有填隙位置的不同，也可以有
N!个微观状态. 同样，由于
n!?N?n?!N!个微观状态. 因此当固体中出现
n!?N?n?!n个缺位和n个填隙原子时，可能的微观状态数为
Ω?N!N!?, （1）
n!?N?n?!n!?N?n?!形成弗伦克尔缺陷导致的熵为
S?klnΩ
?2klnN! （2）
.n!?N?n?!（b）以u表示原子处在填隙位置与正常位置的能量差. 形成n个缺位和填隙原子后，固体内能的增加为
自由能的改变为
F?nu?TSU?nu. （3）
?nu?2kTlnN!n!?N?n?! （4）
?nu?2kT??NlnN?nlnn??N?n?ln?N?n???.假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T时平衡态的自由能为极小要求
?F?0. ?n由式（4）得
?FN?n?u?2kTln?0, ?nn即
lnN?nu?, n2kT?u2kT由于n??N，上式可以近似为
n?Ne. （5）
实际固体中u的典型值约为1eV，在300K时，有
n?e?20?10?8.7. N高温下比值会增大.
上述讨论中假设形成缺隐时固体的体积不变. 在这假设下应用了自由能判据，u也成为与温度无关的常量.讨论中也忽略了形成缺陷与晶格振动的相互影响. 这些假设都是近似成立的. 7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为
??122px?py?pz2??ax2?bx, ?2m其中a,b是常量，求粒子的平均能量.
解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式?中ax2和bx两面三刀项都是x的函数，不能直接将能量均分定理用于ax2项而得
出ax2?kT的结论. 要通过配方将?表达为
1b?b2?222??px?py?pz??a?x???. （1） ?2m2a?4a?212在式（1）中，仅第四项是x的函数，又是平方项. 由能量均分定理知
1b?b2?222??px?py?pz??a?x??? ?2ma?4a?2
b2?2kT?. （2）
4a 7.17 气柱的高度为H，处在重力场中. 试证明此气柱的内能和
热容量为
U?U0?NkT?NmgHe0VmgHkT,
?1mgHkT2CV?C?Nk?N?mgh?e2?mgH?kTe?1????1. kT2 解: 为明确起见，假设气体是单原子分子理想气体.在重力场中分子的能量为
??122px?py?pz2??mgz. （1） ?2m粒子的配分函数为
1Z1?3h???e??p2m32?222x?py?pz???mgzdxdydzdpxdpydpz
??mgzdxdyedz??0H1?2πm???h3???32
?1?2πm?1??mgHA1?e, （2） ???3?h????mg其中A??dxdy是气柱的截面积. 气柱的内能为
U??N??lnZ1??3NmgHNkT?NkT??mgH2e?1
式中U0?NkT.
32?U0?NkT?NmgH, （3）
e?mgH?1 气体的热容量为
CV??U ?T2?mgHNmgHe??10?CV?Nk?2. （4） 2?mgHkT?e?1?