发布时间 : 星期五 文章精炼总结平抛运动的知识点、例题与练习题更新完毕开始阅读
第4节 抛体运动的规律
【知识要点】
1、分解平抛运动的理论依据
上节的实验探究得到了这样的结论：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，水平方向的分运动是匀速直线运动。
这个结论还可从理论上得到论证：物体以一定初速度v水平抛出后，物体只受到重力的作用，方向竖直向下，根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与所受合外力方向一致，大小为a＝mg/m＝g，方向竖直向下；由于物体是被水平抛出的，在竖直方向的初速度为零。所以，平抛运动的竖直分运动就是自由落体运动。而水平方向上物体不受任何外力作用，加速度为零，所以水平方向的分运动是匀速直线运动，速度大小就等于物体抛出时的速度v。 2、平抛物体的规律
如图4－1所示，以物体水平抛出时的位置为坐标原点，以水平抛出的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。
（1）位移：水平方向的分运动x＝vt
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竖直方向的分运动y＝ gt
2
2
O v x
y 图4－1 （2）轨迹：从以上两式中消去t，可得y＝x
y＝x2是平抛运动物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程，我们称之为平抛运动的轨迹方程。
（3）速度：水平分速度vx＝v，竖直分速度vy＝gt
根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小
v＝
设这个时刻物体的速度与竖直方向的夹角为θ，则有
tan θ＝＝。
3、对平抛运动的进一步讨论
（1）飞行时间：由于平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，有， 即平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
（2）水平射程：由于平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的水平射程即落地点与抛出点间的水平距离x＝vt＝v
即水平射程与初速度v和下落高度h有关，与其他因素无关。
（3）落地速度：根据平抛运动的两个分运动，可得落地速度的大小
以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有
即落地速度也只与初速度v和下落高度h有关。
（4）速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔△t内的速度改变量△v＝g△t相同，方向恒为竖直向下。
（5）速度与位移两方向间的关系：做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，v B（x′，0） O x x фθ 设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为ф。
如图4－2所示，由平抛运动规律得 s tan θ＝，tanф＝ ＝＝
A（x，y）
y v x所以，tanθ＝2tanф θ （6）平抛物体速度反向延长线的特点：如图6－43所示，设平抛运动物体的初
y vy vt 图4－2
速度为v，从坐标原点O到A点的时间为t，A点的坐标为（x，y），B点的坐标为（x′，0），12
则由平抛运动的规律可得x＝vt，y＝ gt，vy＝gt
2
又tan θ＝＝，联立以上各式解得＝。
即做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 4、斜抛物体的位置随时间变化的规律 y 如图4－3，物体以初速度v斜向上抛出，我们以物体离开手的位置为坐标原点，以水平抛出的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，建立坐
vy v 标系，并从这一瞬间开始计时。
物体在水平方向不受任何外力的作用，所以物体在水平方向做匀速直线运动，
O vx 速度vx＝vcosθ，则物体位置的横坐标随时间变化的规律为x＝vxt＝vtcosθ；
图4－3 物体在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律可知，物体的加速度a＝g，
方向竖直向下。注意，与平抛运动不同的是，小球在竖直方向的初速度并不为零，而是等于vy＝vsinθ，由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的关系为y1122
＝vyt－ at＝vt sin θ－ gt。
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5、斜抛物体的运动轨迹
从以上两式中消去t，可得
y＝－＋tanθ·x
因此，斜抛物体的运动轨迹为抛物线。我们可作以下讨论：
2
（1）对y＝－ax＋bx＋c，当x＝时，y有最大值ym＝＋c。所以，对上述斜抛运动轨迹方程，当
x＝
时，y有最大值ym＝。
对于炮弹的运动而言，此即弹道曲线最高点的位置坐标，也常称作射高。
（2）设斜抛运动轨迹方程中的y＝0，则有
x1=0， x2＝
式中x2的物理意义是斜上抛运动的水平射程（如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与发射位置的距离）。由此式可以知道，要增大射程，一是要增大发射速度，二是适当调节抛射方向，由水平射程表达式可知，在v一定时，当θ＝45°（θ常称作投射角）时，水平射程有最大值xm＝。
6、斜抛物体的速度随时间变化的规律
我们已经知道，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动，以斜上抛运动为例，从抛出开始计时，经过时间t后，物体水平方向的速度vxt＝vcosθ 竖直方向的速度vyt＝v sin θ－gt。
vyt v 根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小v＝ y 速度的方向可用图4－4中的θ表示，
θ tanθ＝ vxt 【例题解析】
【例1】如图4－5所示，一高度为h＝的水平面在A点处与一倾角为θ＝30°的斜面连接，一小球以v0＝5m/s的速度在水平面上向右运动。求小球从A点运动到地面O
2
所需的时间（平面与斜面均光滑。g取10m/s）。某同学对此题的解法为：图4－4 小球沿斜面运动，则 v0 A h θ 图4－5
x
x 12
＝v0t＋ g sin θ t。
2
由此可求得落地的时间t。
问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则请说明理由，并求出你认为正确的结果。
【解析】不同意上述解法，小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。正确的解法是：
假如小球直接落至地面，则小球在空中运动的时间为
t＝
落地点与A点的水平距离x＝v0t＝5×=1m。 斜面底宽l＝hcotθ＝×3 m≈。
因为x＞l，所以小球离开A点后确实不会落到斜面上，而是直接落至地面，因此落地时间即为平抛运动时间。
【例2】飞机在2km的高空以360km/h的速度沿水平航线匀速飞行，飞机在地面上观察者的
2
正上方空投一包裹。（g取10m/s，不计空气阻力）
（1）试比较飞行员和地面观察者所见的包裹的运动轨迹。 （2）包裹落地处离地面观察者多远？离飞机的水平距离多大？ （3）求包裹着地时的速度大小和方向。 【解析】（1）飞机上的飞行员以正在飞行的飞机为参照物，从飞机上投下去的包裹由于惯性，在水平方向上仍以360km/h的速度沿原来的方向飞行，但由于离开了飞机，在竖直方向上同时进行自由落体运动，所以飞机上的飞行员只是看到包裹在飞机的正下方下落，包裹的轨迹是竖直直线；地面上的观察者是以地面为参照物的，他看见包裹做平抛运动，包裹的轨迹为抛物线。
（2）抛体在空中的时间取决于竖直方向的运动，故
t＝＝20s
包裹在完成竖直方向2km运动的同时，在水平方向的位移是
x＝v0t＝＝2000m
即包裹落地位置距观察者的水平距离为2000m。
空中的包裹在水平方向与飞机是同方向同速度的运动，即水平方向上它们的运动情况完全相同，所以，落地时包裹与飞机的水平距离为零。
（3）包裹着地时，对地面速度可分解为水平方向和竖直方向的两个分速度，
vx＝v0＝100m/s，vy＝gt＝10×20m/s＝200m/s
故包裹着地速度的大小为
vt＝m/s＝1005 m/s≈224m/s。
而tanθ＝＝＝2
故着地速度与水平方向的夹角为θ＝arctan2。
【例3】一水平放置的水管，距地面高h＝，管内横截面积S＝，有水从管口处以不变的速度v＝s源源不断地沿水平方向射出。设出口处横截面积上各处水的速度都相同，并假设水
2
流在空中不散开，g取10m/s，不计空气阻力，求水流稳定后在空中有多少立方米的水？ 【解析】水由出口处射出到落地所用的时间为
t＝
单位时间内喷出的水量为Q＝Sv
空中水的总量为V＝Qt 由以上三式联立可得
V＝Svm 3＝×m3。
【例4】如图4－6所示，高为h的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a，车厢顶部A点处有油滴滴下落到车厢地板上，车厢地板上的O点位于A点的正下方，则油滴的落地点必在O点的_______（填“左”或“右”）方，离O点的距离为______________。 【解析】因为油滴自车厢顶部A点脱落后，由于惯性在水平方向具有与车厢相同的初速度，因此油滴做平抛运动，水平方向做匀速直线运动x1＝vt
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竖直方向做自由落体运动h＝ gt
2
又因为车厢在水平方向做匀减速直线运动，所以车厢（O点）的位移为x2＝12
A O v 图4－6
A O x2 x1 图4－7
A O x vt－ at2。
如图4－7所示，x＝x1－x2，
a所以油滴落地点必在O点的右方，离O点的距离为 h。
g【例5】在电影或电视中经常可以看到这样的惊险场面：一辆高速行驶的汽车从山顶上落入山谷。为了拍摄重为15000N的汽车从山崖上坠落的情景，电影导演通常用一辆模型汽车来代替实际汽车。设模型汽车与实际汽车的大小比例为1∶25，那么山崖也必须用1∶25的比例模型来代替真实的山崖。设电影每秒钟放映的胶片张数是一定的，为了能把模型汽车坠落的情景放映得恰似拍摄实景一样，以达到以假乱真的视觉效果，在实际拍摄的过程中，电影摄影机每秒拍摄的胶片数应为实景拍摄的胶片数的几倍？模型汽车在山崖上坠落前的行驶速度应是真实汽车的实际行驶速度的几倍？
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【解析】由h＝ gt，可得h∝t，又h模＝ h实，所以有t模＝ t实，故实际拍摄时每秒
2255钟拍摄的胶片张数应是实景拍摄时胶片张数的5倍。
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因为模型汽车飞行时间是实际汽车飞行时间的 ，而模型汽车在水平方向飞行的距离为
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实际汽车在水平方向飞行距离的 ，则由x＝v0t可得v0模＝ v0实。
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【例6】观察节日焰火，经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。一般说来，焰火升空后突然
爆炸成许许多多小块（看作发光质点），各发光质点抛出速度v0大小相等，方向不同，所以各质点有的向上做减速运动，有的向下做加速运动，有的做平抛运动，有的做斜抛运动，这些发光质点怎么会形成一个不断扩大的球面（“礼花”越开越大）呢？请说明理由。
【解析】设某一发光质点的抛出速度为v0，与水平方向夹角为θ，将v0沿水平方向（x轴）和竖直方向（y轴，向上为正方向）正交分解。由抛体运动的研究可知质点的位置坐标为
x＝v0 cos θ ·t
y x y＝v0 sin θ ·t－ gt2。
联立以上两式，消去θ即得
图4－8
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