发布时间 : 星期六 文章2020年湖南省衡阳市高考(文科)数学一模试卷 含解析更新完毕开始阅读
则事件“sinx≤”发生的概率P＝＝，
故答案为：．
14．设抛物线y＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A、B，若点M（2，
2
t）满足＝（+），则|AB|＝ 6 ．
【分析】抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+2，由所以|AB|＝x1+x2+2＝6．
解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵直线AB过焦点F（1，0）， ∴|AB|＝x1+x2+2， 又∵
＝（
+
），
＝（
+
）可得M（2，t）是AB的中点，所以x1+x2＝4，
则M（2，t）是AB的中点， ∴x1+x2＝4， ∴|AB|＝x1+x2+2＝6， 故答案为：6．
15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sinAsinBcosC＝sin2C，则： （1）
＝ 2 ，
（2）∠C的最大弧度数为 ．
【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求可求解cosC，进而可求C的范围． 解：因为2sinAsinBcosC＝sinC， 所以2abcosC＝c2， 所以a2+b2﹣c2＝c2， 所以
，
2
；然后结合余弦定理及基本不等式即
cosC＝
所以0＜C＜π， ∴C＝，
，当且仅当a＝b时取等号．
．
故答案为：2，
16．己知直线y＝x+1上有两点A（a1，b1）、B（a2，b2），且满足
，若a1＞a2，|AB|＝2
2 个．
【分析】依题意，向量解：设向量∵∴夹角为
或
，又|AB|＝2
，
，
，
的夹角为
或
，作图容易得出结论．
，则这样的点A共有
的夹角为θ，
，
所以△ABO的外接圆半径R＝＝＝2．
，
设其圆心为C，则C点到直线y＝x+1的距离为所以C点应在直线y＝x+1平行且距离为
的两条平行直线y＝x﹣1，y＝x+3上，
＞2，
＜2，
且C点到原点O的距离为2，而原点O到y＝x+3的距离为
所以y＝x+3上不存在这样的点，而原点O到直线y＝x﹣1的距离为
所以y＝x﹣1上存在两个符合条件的点C，每个C点都确定唯一一个点A， 所以这样的点A共有2个． 故答案为：2．
三、解答题：必做题5个，每题12分，选做题两个只选做一个，10分，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且asin（A+C）＝（1）求角A的大小；
（2）若三边b，a，c的长成等比数列，△ABC的面积为
，求a，b，c的长．
．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tanA，进而可求A；
（2）由已知结合三角形的面积公式可求bc，然后结合等比的性质可求a，再由余弦定理代入即可求．
解：（1）因为asin（A+C）＝所以asinB＝bsin（A+故sinAsinB＝sinBsin（A+所以sinA＝sin（A+所以tanA＝∴
，
＝
＝
，
，
）＝），
），
， ．
（2）由题意可得，∴bc＝4，
∵a＝bc＝4，∴a＝2， 由余弦定理可得，∴b2+c2＝8，
2
＝b+c﹣bc，
22
所以（b﹣c）＝b+c﹣2bc＝0，所以b＝c， 故b＝c＝2．
18．病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究所加紧对病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表：
未注射疫苗 注射疫苗 总计
未感染病毒
20 30 50
感染病毒
总计
222
x y
50
A B
100
现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为． （1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；
（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效？ 附：K2＝
，n＝a+b+c+d．
0.05
0.01
0.005
0.001
P（K2≥K0）
K0 3.841 6.635 7.879 10.828
【分析】（1）根据2×2列联表的特征进行计算即可； （2）结合已知数据和K的公式进行即可得解． 解：（1）由已知条件可知：
2
B＝0.4×100＝40，A＝100﹣B＝60， x＝60﹣20＝40，y＝40﹣30＝10．
（2）∵
∴有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效．
19．已知在四棱锥C﹣ABED中，DE∥AB，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，AB＝2DE，DA＝DC且平面DAC⊥平面ABC．
（1）设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；
（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求四棱锥C﹣ABED的体积．
＞10.828，
【分析】（1）取AC中点O 连结DO，OF，推导出DO⊥AC，DO⊥平面ABC，四边形DEFO为平行四边形，从而EF∥DO，由此能证明EF⊥平面ABC．
（2）推导出直线BE与平面ABC所成角为∠EBF＝60°，E，F到平面DAC的距离相等，四棱锥C﹣ABED的体积为VC﹣ABED＝VE﹣DAC+VE﹣ABC，由此能求出结果． 解：（1）证明：取AC中点O 连结DO，OF， ∵在△DAC中，DA＝DC，∴DO⊥AC，
∵平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DO⊥平面ABC， ∵O，F分别为AC，BC的中点，∴AB∥OF，且AB＝2OF， 又DE∥AB，AB＝2DE，∴OF∥DE，且OF＝DE， ∴四边形DEFO为平行四边形，∴EF∥DO， ∴EF⊥平面ABC．
（2）解：∵EF⊥平面ABC，∴直线BE与平面ABC所成角为∠EBF＝60°，