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2012年高中数学联赛试题分类解析几何 2012浙江
9135x2y2A9、已知F分别为双曲线的左右焦点，点的坐标为(,)，,FC:??11222927M的坐标为（ ） 则?F1AF2的平分线与轴的交点
A
(2,0) B (?2,0) C (4,0) D (?4,0)
11、设直线y?ax?4与直线y?8x?b关于直线y?x对称，则a?___,b?____.
x2y219、设P为椭圆??1长轴上一个动点，过点P斜率为k直线交椭圆于两点。若
2516PA?PB22的值仅仅依赖于k而与P无关，求k的值.
2012甘肃
10.M是抛物线y2?2px?p?0?的准线上任意点，过M作抛物线的切线l1,l2，切点分别为A、B（A在x轴上方）。 （1）证明：直线AB过定点；
（2）设AB的中点为P，求｜MP｜的最小值。
2012河北
x24. 过椭圆?y2?1的右焦点F2作倾斜角为45弦AB，则AB为（ C ）
2A.
26464243 B. C. D. 3333解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为y?x?1,代入椭圆方程得
3x2?4x?0?x1?0,x2?442?AB?2(x1?x2)2?。正确答案为C。 33x2y220. 已知椭圆2?2?1，过其左焦点F1作一条直线交椭圆于A，B两点，D(a,0)54为F1右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 F1，求 a的值。
解答：F1(?3,0),左准线方程为x??25;AB方程为y?k(x?3)(k为斜率)。 321k50x??y?k(x?3)?2设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?x2y2 ?(16?2k5x2)??1??2516?2k22?5?4000150k2225k2?400256k22,x1x2???y1y2?k(x1?3)(x2?3)??得x1?x2?? 22216?25k16?25k16?25k----------------------10分
设M(?2525(3a?25)y1(3a?25)y2,y3),N(?,y4)。由M、A、D共线y3?。 ,同理y4?333(a?x1)3(a?x2)又
F1M?(?1616,y3),F1N?(?,y4),由已知得F1M?F1N?F1M?F1N?033，得
256256k2（3a?25)2y1y2256（3a?25)2?,?=y3y4??,而y3y4?，即?2916?25k99(a?x1)(a?x2)9(a?x1)(a?x2)整理得 (1?k2)(16a2?400)?0?a??5,又a??3,所以a?5。
--------------17分
2012浙江
x2y2??1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足）5．过椭圆C：，延长32PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取
值范围为（ ）
A．(0,3] 3
B．(33,] 32
C．[3,1) 3
D．(3,1) 25．设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，
3(1??)?x?HP?1?x1??所以，所以由定比分点公式，可得：?，代入椭圆方程，得Q?PQ1????y1?y[x?3(1??)]2y23?2?223??1点轨迹为，所以离心率e=?1??[,1)。故选223?233?23?C。
18．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。
18．以l为x轴，点P到l的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=x2?22=1+r。所以x=
±r2?2r?3, ∴tan∠MAN=
kAN?kAM1?kAN?kAMo?ro?h??x?r?hx?r?h
o?ho?h1??x?r?hx?r?k?2rh2rh2rh??(x?k)2?r2?h2(?r2?2r?3)2?r2?h2h2?k2?3?2r?2kr2?2r?31，所以m+r?kn，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=r2?2r?3=nhr，∴
m+(1-nh)r=?kr2?2r?3，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对
?m2??3k2(1)?2于任意实数r≥1，上式恒成立，所以?2m(1?nh)?2k(2)，由（1）（2）式，得m=0, k=0，
?(1?nh)2?k2(3)?由（3）式，得n=
11。由2m=h2+k2-3得h=±3，所以tan∠MAN==h=±3。所以∠hnMAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。
x2y220.已知椭圆2?2?1，过其左焦点F1作一条直线交椭圆于A，B两点，D(a,0)54为F1右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 F1，求 a的值。 20.F1(?3,0),左准线方程为x??25;AB方程为y?k(x?3)(k为斜率)。 321k50x??y?k(x?3)?2设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?x2y2 ?(16?2k5x2)??1???25162k22?5?4000150k2225k2?400256k22,x1x2???y1y2?k(x1?3)(x2?3)??得x1?x2?? 22216?25k16?25k16?25k----------------------10分
设M(?2525(3a?25)y1(3a?25)y2,y3),N(?,y4)。由M、A、D共线y3?,同理y4?。 333(a?x1)3(a?x2)又
F1M?(?1616,y3),F1N?(?,y4),由已知得F1M?F1N?F1M?F1N?033，得
256256k2（3a?25)2y1y2256（3a?25)2?,?=y3y4??,而y3y4?，即?2916?25k99(a?x1)(a?x2)9(a?x1)(a?x2)整理得 (1?k)(16a?400)?0?a??5,又a??3,所以a?5。
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