发布时间 : 星期一 文章(完整word版)精讲精练:因式分解方法分类总结-培优(含答案)更新完毕开始阅读
因式分解?提公因式法
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式, 根据乘法分配律的逆运算, 可以把这个公因式提
到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。 它的理论依据就是乘法分
配律。多项式的公因式的确定方法是:
(1 )当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幕。
(2 )系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多 项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1.把下列各式因式分解
(1) 2 m 2
a x
abx
m 1
acx ax
m m 3
(2) a(a b)3
2a2
(b a) 2ab(b
2
a)
分析
: (1)若多项式的第
-项系数是负数,
般要提出“一”号,使括号内的
第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。
2 m2
m 1
m
m3
m 2
3
解: ax abx acx ax ax (ax bx c x )
(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当
n
为自然数时,(a b)2n (b a)2n ; (a b)2n 1 (b a)2n 1,是在因式分解过
解:a(a
b)3 2a2(b a)2 2ab(b a) a(a b)3 2a2(a
b)2 2ab(a b)
a(a b)[(a b)
2
2a(a b) 2b]
a(a b)(3a 4ab
2
b2 2b)
2. 利用提公因式法简化计算过程
例:计算123器
268
456
器521器
1368 分析:算式中每一项都含有 987 1368
,可以把它看成公因式提取出来,再算出结
果
。
987
解:原式 -
(123 268 456 521)
1368
987 1368 987 3.
在多项式恒等变形中的应用1368
2x y 3 5x 3y 2
例:不解方程组 ,求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。
分析:不要求解方程组,我们可以把2x y和5x 3y看成整体,它们的值分 别是3和2,观察代数式,发现每一项都含有 2x y,利用提公因式法把代数式 恒等变形,化为含有 2x y和5x 3y的式子,即可求出结果。
程中常用的因式变换。
(2x y)(2x 3y) 3x(2x y) (2x y)(2x 3y 3x)
把2x y和5x 3y分别为3和2带入上式,求得代数式的值是
(2x y)(5x 3y)
6。
例 2 ?分解因式:4q(1 p)3
3
2
2( p 1)2 4. 在代数证明题中的应用
例:证明:对于任意自然数
n, 3n 2 2n 2 3n 2n一定是10的倍数。
分析:首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是 倍数即可。
3门2 2门2 3门 2门 3门2 3介 2 n 2
2门
3n(32 1) 2n(22
1)
10 3
n
5 2
n
对任意自然数n, 10
3n和5 2n都是10的倍数。 3n 2 2“ 2 3“
2“
一定是10的倍数
5、中考点拨:
例1。因式分解3x(x 2) (2 x)
解:3x(x 2)
(2 x)
3x(x 2) (x 2) (x 2)(3x
1)
说明:因式分解时,应先观察有没有公因式,若没有,看是否能通过变形转换 得到。
10的解:4q(1 p) 2(p
1)
4q(1 p) 2(1 p)
3 2
2(1 P)2[2q(1 p) 1]
2(1 p)2(2q 2pq 1)
说明:在用提公因式法分解因式前,
必须对原式进行变形得到公因式,
同时一定要注意符号,提取公因式后,剩下的因式应注意化简。
题型展示:
例 1?计算:2000 20012001 2001 20002000
精析与解答:
设 2000 a,则 2001 a 1
2000 20012001 2001 20002000
a[10000(a 1) (a 1)] (a 1)(10000a a) a(a 1) 10001 a(a 1) 10001
a(a 1) (10001 10001) 0
说明:此题是一个有规律的大数字的运算,若直接计算,运算量必然很大。其 中2000、2001重复出现,又有 2001 2000 1的特点,可通过设未知数,将复
杂数字间的运算转化为代数式,
再利用多项式的因式分解化简求值,
从而简化计算。
例 2.已知:x2 bx c(b、c 为整数)是 x4 6x2 25及 3x4 4x2 28x 5
的公因式,求b、c的值。
分析:常规解法是分别将两个多项式分解因式,求得公因式后可求 比较麻烦。注意到x2 bx c是3(x4 6x2 25)及3x4 4x2 28x 5的因式。
x 2,5 x都是大于1的自然数
b、c,但
(x 2)(5 x)是合数
说明:在大于1的正数中,除了 1和这个数本身,还能被其它正整数整除的数 叫合数。只能被1因而也是 (3x4 4x2 28x 5)的因式,所求问题即可转化为求这个多项式的二
次因式。
解:
x2 bx c是 3(x4 6x2 25)及 3x4 4x2 28x 5的公因式
4
2
4
2
也是多项式3(x 6x 25)
(3x 4x 28x
5)的二次因式
4
2
4
2
2
而 3(x 6x 25) (3x 4x 28x 5)
14(x 2x 5)
b、c为整数
得:x
2
bx c x2
2x 5 b
2, c 5
说明:这是对原命题进行演绎推理后,转化为解多项式
14x2
28x 70,从
2
而简便求得x bx c。
例3?设x为整数,试判断10 5x x(x 2)是质数还是合数,请说明理由。 解:10 5x x(x 2)
5(2 x) x(x 2) (x 2)(5 x)
和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1.分解因式:
(1) 4m2 n3 12m3 n2 2mn
(2)
a2xn 2 abxn 1 acxn adxn 1 ( n 为正整数)
(3)
a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)2
2.计算:(2)11
(2)10的结果是(
)
J00
3.xA. 2 B. 2 C. 2 已知、y都是正整数,且 x(x y) y(y x) 12,求x、y。
7 9 13
4.证明:81 27 9能被45整除。
2 1995
5.化简:1 x x(1 x) x(1 x) …x(1 x),且当x 0时,求原式D. 1
的值。