发布时间 : 星期三 文章[数学]2010年高考数学计算试题分类汇编 - 立体几何 DOC - 图文更新完毕开始阅读
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.
又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.
（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=
，DG=
，CG=
，AC=
.
作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.
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【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.
（2010陕西文数）18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点. (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.
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解 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC. 又BC∥AD,∴EF∥AD,
又∵AD?平面PAD,EF?平面PAD, ∴EF∥平面PAD.
(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,
则BG⊥平面ABCD,且EG=
12PA.
22 在△PAB中，AD=AB,?PAB°,BP=2,∴AP=AB=2,EG=
121312.
∴S△ABC=AB·BC=×2×2=2, 13 ∴VE-ABC=S△ABC·EG=×2×22=
13.
（2010辽宁文数）（19）（本小题满分12分）
B1C?A1B 如图，棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，
（Ⅰ）证明：平面AB1C?平面A1BC1；
（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B//平面B1CD，求
A1D:DC1的值.
解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C?BC1
又已知B1C?A1B,且A1B?BC1?B
所又B1C?平面A1BC1，又B1C?平面AB1C ， 所以平面AB1C?平面A1BC1 .
（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE， 则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，
（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE. 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点. 即A1D：DC1=1.
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（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。
则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,
??????1???11（Ⅰ）CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),
222?????????11因为CM?SN????0?0，
2212），N（
12,0,0），S（1,
12,0）.??4分
所以CM⊥SN ??6分
????1（Ⅱ）NC?(?,1,0),
2设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
1?x?y?z?0,??2则?令x?2，得a=(2,1,-2). ??9分
1??x?y?0.??212?2
222????因为cosa,SN?1??3?所以SN与片面CMN所成角为45°。 ??12分
（2010全国卷2文数）（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC=BC， AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3 EB1
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角
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