发布时间 : 星期三 文章高三数学一轮基础巩固 第4章 第5节 简单的三角恒等变更新完毕开始阅读
2cos10°-sin20°2cos30°-20°-sin20°
=
cos20°cos20°=
3cos20°+sin20°-sin20°
=3.
cos20°
3απ
15.(2013·江苏苏、锡、常、镇调研)已知钝角α满足cosα=-,则tan(+)的
524值为________.
[答案] -3
34
[解析] ∵cosα=-,α为钝角,∴sinα=,
55
2sinα44α∴tanα===-,由二倍角公式得tanα==-,且tan>0,
cosα33322α-1-tan
52tan+1
2ααπ
解得tan=2,故tan(+)==-3.
224α1-tan
2
111π
16.(2014·湖北武汉联考)已知cosα=,cos(α+β)=-,且α∈(0,),α+
7142
4
5
2tan
ααβ∈(,π),则cosβ的值为________.
1
[答案]
2
ππ111
[解析] ∵α∈(0,),α+β∈(,π),cosα=,cos(α+β)=-,
22714∴sinα=1-cosα=sin(α+β)=1-cos
2
2
π
2
1-
17
2
=
43
, 7
11
1--
14
2
α+β==53
, 14
111)×+147
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-53431
×=. 1472
三、解答题
3-2cos2α17.(2013·池州期末)已知α,β∈(0,π),f(α)=.
4sinα(1)用sinα表示f(α);
(2)若f(α)=sinβ,求α及β的值.
- 9 -
3-21-2sinα1+4sinα[解析] (1)f(α)==. 4sinα4sinα(2)∵0<α<π,∴sinα>0. 1
∴f(α)=sinα+≥24sinα1
=1, 4
22
又f(α)=sinβ≤1,∴f(α)=1, 1
此时sinα=,
4sinα1π5π
即sinα=,∴α=或.
266
又∵0<β<π,0 所以f(α)=sinβ=1,所以β=. 2π5ππ 综上可知α=或,β=. 662 18.(文)(2014·天津十二区县模拟)已知f(x)=23cosx+2sin(π-x)cos(-x)+a-3(x∈R,a∈R,a为常数). (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间; π (2)先将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,然后将得到函数图象上各点的横坐标伸6ππ 长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若当x∈[,]时,g(x)的最小 63值为2,求a的值及函数y=g(x)的解析式. π [解析] (1)f(x)=sin2x+3cos2x+a=2sin(2x+)+a, 32π 函数f(x)的最小正周期为T==π, 2πππ 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 232 2 kπ- 5ππ ≤x≤kπ+,k∈Z, 1212 5ππ 所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z. 1212 ππ (2)f(x)=2sin(2x+)+a向右平移个单位,然后将得到函数图象上各点的横坐标变36为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的解析式为g(x)=2sinx+a, ππ 当x∈[,]时,g(x)∈[a+1,a+3], 63 - 10 - g(x)取最小值2,∴a+1=2,a=1, 所以g(x)=2sinx+1. (理)(2013·山东实验中学三诊)设函数f(x)=3sinxcosx+cosx+a. (1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间; ππ3 (2)当x∈[-,]时,函数f(x)的最大值与最小值的和为,求f(x)的解析式; 632π (3)将满足(2)的函数f(x)的图象向右平移个单位,纵坐标不变,横坐标变为原来的2 121π 倍,再向下平移个单位,得到函数g(x)的图象,求g(x)的图象与x轴的正半轴、直线x= 22所围成图形的面积. [解析] (1)f(x)= 31+cos2xsin2x++a 22 2 π1 =sin(2x+)+a+,∴最小正周期T=π. 62由得 π2π 故函数f(x)的单调递减区间是[+kπ,+kπ](k∈Z). 63ππππ5π (2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤. 636661π ∴-≤sin(2x+)≤1. 26 ππ1113当x∈[-,]时,函数f(x)的最大值最小值的和(1+a+)+(-+a+)=, 632222∴a=0,∴f(x)=sin(2x+ π1 )+. 62 ππ3π +2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 262π2π +kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 63 (3)由题意知g(x)=sinx, 所求面积为sinxdx=-cosx|=1. - 11 -