发布时间 : 星期四 文章高三数学一轮基础巩固 第4章 第5节 简单的三角恒等变换（含解析）新人教A版更新完毕开始阅读
π
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
2
(理)(2014·山东青岛阶段测试)已知α∈R，sinα＋2cosα＝________．
3
[答案] －
4
[解析] ∵sinα＋2cosα＝
10522
，∴sinα＋4sinα·cosα＋4cosα＝.化简得22
10
，则tan2α等于2
sin2α3
4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.
cos2α4
π4π
9．(2014·辽宁铁岭一中期中)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值
6512为________．
[答案]
172
50
[解析] 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力， πππ2π
∵0<α<，∴<α＋<，
2663π4
又cos(α＋)＝，
65π
∴sin(α＋)＝
6
1－cos
2
α＋
π3
＝， 65
πππ
∴sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋) 6663424
＝2××＝，
5525
ππ2
cos2(α＋)＝2cos(α＋)－1
66427
＝2×()－1＝，
525
πππ
∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]
1264ππππ
＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin 6464＝
24272172
×－×＝. 25225250
[点评] 已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角
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的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．
三、解答题
π
10．(文)已知函数f(x)＝tan(2x＋)．
4(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
πα(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos2α，求α的大小．
42
πππkπ
[解析] (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为
4282
???πkπ?x∈R?x≠＋
82???
??
，k∈Z?.
??
f(x)的最小正周期为. (2)由f??＝2cos2α得，
?2?
π??sin?α＋?4?π???22
tan?α＋?＝2cos2α，＝2(cosα－sinα)，
4?π???cos?α＋?4??sinα＋cosα整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
cosα－sinαπ2
?α??π?因为α∈?0，?，所以sinα＋cosα≠0.
4??
112
因此(cosα－sinα)＝，即sin2α＝. 22
?π??π?由α∈?0，?，得2α∈?0，?.
4?2???
ππ
所以2α＝，即α＝. 612
π
(理)(2014·四川理，16)已知函数f(x)＝sin(3x＋)．
4(1)求f(x)的单调递增区间；
α4π
(2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos2α，求cosα－sinα的值．
354
π
[分析] 第(1)问，通过整体思想，将3x＋看作一个整体，借助y＝sinx的单调递增区
4间，解不等式求出x的范围得到f(x)的单调递增区间，要注意k∈Z不要漏掉；第(2)问，利用已知条件求出f()，然后利用和角公式展开整理，得到关于sinα＋cosα与cosα－sinα3
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α的方程，再对sinα＋cosα与0的关系进行讨论，得到cosα－sinα的值．
ππ
[解析] (1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，
22ππππ2kππ2kπ
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.
24243123π2kππ2kπ所以，函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.
43123π4π22
(2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cosα－sinα)，
454
ππ4ππ22
所以sinαcos＋cosαsin＝(cosαcos－sinαsin)(cosα－sinα)，
4454442
即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)(sinα＋cosα)．
5当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角， 3π
知α＝＋2kπ，k∈Z.
4此时，cosα－sinα＝－2.
52
当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)＝.
4
由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－综上所述，cosα－sinα＝－2或－
5. 2
5. 2
一、选择题
11．(2013·东北三省四市联考)已知复数z1＝cos23°＋isin23°，复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为( )
13A．＋i 2213C．－i 22[答案] A
[解析] 由已知条件可得z1z2＝cos(23°＋37°)＋isin(23°＋37°)＝cos60°＋13
isin60°＝＋i，故应选A．
22
12．(2014·樟树中学月考)已知tan＝3，则cosα＝( )
2
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B．
31＋i 2231－i 22
D．
α4A． 54C． 15[答案] B
4B．－
53D．－
5
cos－sin
22αα22
[解析] cosα＝cos－sin＝
222α2αcos＋sin
221－tan＝
2
2
α2
αα2
1－94
＝＝－，故选B． 1＋952α1＋tan2
π
13．(2013·沈阳、大连联考)已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且B＝，则cosA4－cosC的值为( )
A．±2 4
C．2 [答案] D
[解析] 由三边成等差数列得2b＝a＋c，据正弦定理将边化角得2sinB＝2＝sinA＋sinC ①，
令cosA－cosC＝x ②，
将两式两边平方并相加可得2＋2(sinAsinC－cosAcosC)＝2－2cos(A＋C)＝2＋x，由已3π42
知A＋C＝得2＝x，解得x＝±2，故选D．
4
二、填空题
2cos5°－sin25°
14．(文)(2014·河南六市联考)的值为________．
cos25°[答案]
3
2
B．2 4D．±2
2cos30°－25°－sin25°
[解析] 原式＝
cos25°＝
3cos25°
＝3.
cos25°
2cos10°－sin20°
(理)(2014·江苏灌云高级中学期中)求值：＝________.
cos20°[答案]
3
[解析] 由题意得
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