发布时间 : 星期四 文章九年级数学培优讲义与测试更新完毕开始阅读
11111??(1?m)2?k?.又由f(?1)?，所以??(1?m)2?k?.因此把m、k改写成x、y，顶22222点坐标存在的范围是下图的阴影部分（边界除外）。
111（2）反证法：假设?1?x?1是f(x)?的解，则f(1)?;f(?1)?;
2221f(0)?.
2因为
1f(??b?c1?3??b?c??,?22?所以??3?c?b??1,
?2?21?1??c?.?22?其公共部分如图所示的三个重叠部分，但显然没有重叠部分，故b、c不存在，即无解，所以与假设相矛盾．因此原命题得证。
x例2：x为一切实数，f(x)?x2?4mx?m?30均有非负数，m为实数，求方程?m?1?1m?2的根的取值范围。
解：因为f(x)?x2?4mx?2m?30均有非负数，所以△≤0，即△=
5x(?4m)2?4(2m?3)?0，所以??m?3.因为?m?1?1方程中含有绝对值，并且m?2，
2m?25所以将??m?3分段讨论。
255 当??m??2时，化简得x??m2?4；当m?0时，x最大值?4，但m?0不在??m??222595范围；当m??时，x??；当m接近?2时，x接近于0.所以当??m??2时，
242x9?m?1?1的方程的根的取值范围是??x?0. m?24当m??2时，方程无解。
当?2?m?1时，化简得x??m2?4；当m?0时，x最大值?4，而当m?0属于?2?m?1范围内；当m?1时，x?3；当m接近?2时，x接近于0. 所以当?2?m?1时，原方程x的取值范围是0?x?4.
当?1?m?3时，x?m2?2m?(m?1)2?1；当m??1时，x最小值??1，但m??1不属于
1?m?3范围；当m接近1时，x接近3；当m?3时，x?9?6?15.所以当?1?m?3时原方程根的取值范围是3?m?15.
9综上所述，原方程根的取值范围是??x?0或0?x?4或3?m?15.
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例3：求函数y?x2?x?1与y?2x?2的图形的最近点之间的距离。
2?x0?1，点M到直线y?2x?2的距离为 解：设点M(x0,y0)在y?x2?x?1上，故y0?x0d?2x0?y0?22?122?22x0?x0?x0?15?2?x0?x0?35
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1211(x?)?0?x?x0?324, ??5520当x0?11511717;当x0?时，y0?，即M(,). 时，d最小值?2022424
例4：已知y?ax2?bx?c（a?0、b?0、c?0且a?b?c?1）并且ax2?bx?c?0的实数根，
4证明：max?a,b,c??.
94454证明：如果b?，结论成立；如果b?，那么a?c?1?b?；如果a?，结论成立。
999945155 设a?，那么c??a?，并且由c??a得a??c. ①
999994又因为ax2?bx?c?0有实数根，所以b2?4ac?0，所以()2?4ac,
94即ac?. ②
81545441 由①②可得c(?c)?ac?，所以c2?c??0，得c?或c?.但假设中
98198199414a?,c?,所以c只可能大于或等于，从而结论成立。
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例5：非负数a、b、c满足3a?2b?c?5,2a?b?3c?1. 求S?3a?b?7c的最值。
b?c?5?a?7c?3?0?3a?237解：由?得?所以?c?.将a、b用c代入S得，
711?2a?b?c?1?b?7?11c?0,5371由S?3a?b?7c?3(7c?3)?(?7c11?c)?7c???3??2?3c?2?3??2??，得S77111151的最大值为?，最小值为?.
711
例6：非负数a、b、c满足a2?2ab?2ac?4bc?12，求a?b?c的最小值。 解：由(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?a2?2ab?2ac?
4bc?(b?c)2?12?(b?c)2?12，所以当b?c时，(a?b?c)2取最小值12，a?b?c最小值为
23.
习题
A卷
一、填空题
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1. y－2与x＋1成正比例，比例系数为－2，将y表示成x的函数 。
2.如图，在直角△AOB中，∠AOB=90°，OA= 2，OB=1，∠xOA=30°，则A、B两点的坐标分别为 。
3.若方程kx2?(k?1)x?(k?1)?0的根都是整数，则常数k= 。
4.已知一次函数f(x) = (2a－b)x＋a－5b，9(x) =ax＋b.若使f(x)＞0的实
10数x的取值范围是x?，则使g(x)＜0的实数x的取值范围是 。
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5.若函数f(x)满足两个恒等式f(x)＋f(－x) =0，f(x＋2)＋f(x)=0.又知当0≤x≤1时，f(x) = x，则f(7.5) = ．
6.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体的无盖水池．若池底与池壁的造价每平方米是120元和80元，则水池的最低造价为 元。
7.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1、a2、a3、…、an共n个数据．我们又规定所测物理量的最佳近似值a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1、a2、a3、…、an推出a＝ 。
18.已知y?ax?，当0≤x≤1时，y满足0≤y≤1，则a的取值范围是 。
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9.设x、y、z≥0，并且x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4，u=3x－2y＋4z，则u的最大值与最小值分别是 。
910.当b≤x≤b时，二次函数y??3x2?3x?4b2?的最大值是7，则b= 。
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二、解答题
11.已知a、b满足a3?3a2?5a?1,b3?3b2?5b?5，试求a＋b的值。
12.已知点P是一次函数y=－x＋6在第一象限的图像上的点，点A的坐标为（4，0）： (1)点P能否成为等腰三角形AOP的一个顶点？若能的话，则点P的坐标是什么？ (2)若使△AOP为直角三角形，那么能否找到满足条件的点P? (3)若使△AOP为等腰直角三角形，那么能否找到满足条件的点P?
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13.一次函数y?(m?4)x?2?m的图像，能否不经过第四象限？你能否归纳出，字母m对该一次函数图像在直角平面坐标系中位置的决定作用？
14.某汽车油箱中余油量Q(千克）与它行驶时间(t小时）之间是一次函数关系。已知t=0时油箱中有油60千克，汽车行驶8小时，油箱中还有剩油20千克。 (1)写出Q与t之间的函数关系式；
(2)如果汽车的速度为每小时40千米，开出后必须返回出发地，在沿途又无加油站，则汽车最多能行驶多远就必须返回？
B卷
一、填空题
1.已知y?4x2?x?1?x2?2x?1，则y的最小值是 ． 2.y?54?x2?3x的最小值是 ．
m23.若对于任意实数m，直线y?m(x?1)?与抛物线y?ax2?bx?c 恒相切，那么该抛物线
4的解析式是 ．
4.正方形的边长为x，若边长增加5，则面积增加y，则y与x的函数关系式是 ．
5.矩形两邻边的长分别为x、x＋10、则矩形的周长y与x的函数关系式是 ，矩形的面积S与x的函数关系式为 ．
(x?1)26.求函数y?中自变量x的取值范围是 ．
x
x2x97.已知y???，且y?x，则x的取值范围是 ．
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