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2.28 质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量．
解：设圆柱体的高为H，其体积为V = π(R22 – R12)h，体密度为ρ = M/V．在圆柱体中取一面积为S = 2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为dV = Sdr = 2πrHdr，其质量为dm = ρdV，
绕中心轴的转动惯量为dI = r2dm = 2πρHr3dr， 总转动惯量为I?2??H
R2R1O R1 R2 O` 图2.28
H ?rdr?31244??H(R2?R1)?12m(R2?R1)．
222.29 一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示．试证明：
（1）薄板对OX轴的转动惯量为IOX?（2）薄板对OZ轴的转动惯量为IOZ?112112Mb； M(a?b)．
222Y a b Z O X 证： 薄板的面积为S = ab，质量面密度为σ = M/S．
（1）在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为dS = ady， 其质量为dm =σdS，
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绕X轴的转动惯量为dIOX = ydm = σaydy，
b/2图2.29 积分得薄板对OX轴的转动惯量为IOX??a同理可得薄板对OY轴的转动惯量为IOY?1??b/2ydy??a213b/2y3?b/2?112?ab?3112Mb．
212Ma．
2Y a r y O` X O x Z Z` （2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b，宽为dx的矩形元，其面积为dS = bdx，质量为dm = σdS，
绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量
dIO`Z` = b2dm/12．
根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为 dIOZ = x2dm + dIO`Z` = σbx2dx + b2dm/12， 积分得薄板对OZ轴的转动惯量为
a/2b IOZ??b??a/2xdx?2112Mb2?0dm??b13a/2x3?a/2?112bM?2112M(a?b)．
22方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元dm，绕OZ轴的转动惯量为dIOZ = r2dm． 由于r2 = x2 + y2，所以dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX， 因此板绕OZ轴的转动惯量为IOZ?IOY?IOX?
2.30 一半圆形细杆，半径为R，质量为M，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量．
解：半圆的长度为C = πR，质量的线密度为λ = M/C．在半圆上取A 一弧元ds = Rdθ，其质量为dm = λds，到AA`轴的距离为r = Rsinθ， 绕此轴的转动惯量为dI = r2dm = λR3sin2θdθ，半圆绕AA`轴的转动惯
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112M(a?b)．
22R θ A` 图2.30
量为
ππI??R3?sin?d???R023?201(1?cos2?)d??π2?R?312MR
2
2.31 如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．
解：大圆的面积为S = πR，质量的面密度为σ = M/S．大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM = MR2/2．小圆的面积为s = πr2，质量为m = σs，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC = mr2/2， 根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为Im = IC + m(R/2)2．
Im?IC?m(R2)?2R r O
r 2
图2.31
14m(2r?R)?2214??r(2r?R)?22214MrR22(2r?R)，
22剩余部分的转动惯量为 I?IM?2Im?12M(R?r?222rR42)．
2.32 飞轮质量m = 60kg，半径R = 0.25m，绕水平中心轴O转动，转
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速为900r·min．现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力F，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．
（1）设F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？
（2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？
?0.50 0.75 F O 图2.32
解：设飞轮对闸瓦的支持力为N`，以左端为转动轴，在力矩平衡时有0.5N` – 1.25F = 0， 所以N`=2.5F = 250(N)．
闸瓦对飞轮的压力为N = N`= 250(N)， 与飞轮之间摩擦力为f = μN = 100(N)， 摩擦力产生的力矩为M = fR．
飞轮的转动惯量为I = mR2/2，
角加速度大小为β = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad·s-2)， 负号表示其方向与角速度的方向相反．
飞轮的初角速度为ω0 = 30π(rad?s-1)．
根据公式ω = ω0 + βt，当ω = 0时，t = -ω0/β = 7.07(s)．
再根据公式ω2 = ω02 + 2βθ，可得飞轮转过的角度为θ = -ω02/2β = 333(rad)， 转过的圈数为n = θ/2π = 53r．
[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π．
（2）当t = 2s，ω = ω0/2时，角加速度为β = -ω0/2t = -7.5π． 力矩为M = -Iβ，
摩擦力为f = M/R = -mRβ/2 = (7.5)π．
闸瓦对飞轮的压力为N = f/μ，
需要的制动力为F = N/2.5 = (7.5)2π = 176.7(N)．
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2
2.33 一轻绳绕于r = 0.2m的飞轮边缘，以恒力F = 98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I = 0.5kg·m，轴承无摩擦．求 （1）飞轮的角加速度．
（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能．
（3）将重力P = 98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果．
解：（1）恒力的力矩为M = Fr = 19.6(N·m)， 对飞轮产生角加速度为β = M/I = 39.2(rad·s-2)．
（2）方法一：用运动学公式．飞轮转过的角度为θ = s/r = 25(rad)， 由于飞轮开始静止，根据公式ω2 = 2βθ，可得角速度为 ??飞轮的转动动能为Ek = Iω/2 = 490(J)．
方法二：用动力学定理．拉力的功为W = Fs = 490(J)， 根据动能定理，这就是飞轮的转动动能Ek．
根据公式Ek = Iω2/2，得角速度为??s)． 2Ek/I= 44.27(rad·-1
2
2
m F=98N P=98N
(b) (a)
(图2.33)
s)； 2??= 44.27(rad·-1
(3)物体的质量为m = P/g = 10(kg)．
设绳子的张力为T，则P – T = ma，Tr = Iβ．
2
由于a = βr，可得Pr = mrβ + Iβ， 解得角加速度为??Pr2mr?II?IP?绳子的张力为T?= 54.4(N)． 2rmr?I= 21.8(rad·s)．
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张力所做的功为W` = Ts = 272.2(J)，这就是飞轮此时的转动动能E`k． 飞轮的角速度为?`?
2.34 质量为m，半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示．盘与水平面的摩擦因数为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多少圈？
解：圆盘对水平面的压力为N = mg，
压在水平面上的面积为S = πR2， 压强为p = N/S = mg/πR2．
O R 图2.34
2Ek/I= 33(rad·s-1)．
`ω0 当圆盘滑动时，在盘上取一半径为r、对应角为dθ面积元，其面积为dS = rdθdr，
对水平面的压力为dN = pdS = prdrdθ， 所受的摩擦力为df = μdN = μprdrdθ，
其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为dM = rdf = μprdrdθ， 总力矩为M?2
2?R??002?prdrd??2π?p13R?323?mgR．
圆盘的转动惯量为I = mR/2，
M4?g??角加速度大小为???，负号表示其方向与角速度的方向相反．
I3R2
根据转动公式ω = ω0 + 2βθ，当圆盘停止下来时ω = 0，所以圆盘转过的角度为
????0222
2??3?0R8?g2，转过的圈数为 n??2??3?0R16??g2．
[注意]在圆盘上取一个细圆环，其面积为ds = 2πrdr，这样计算力矩等更简单。
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2.35 一个轻质弹簧的倔强系数为k = 2.0N·m．它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1 = 80g的物体相连，如力产所示．定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r = 0.05m，质量为m = 100g．先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手．求物体m1下降h = 0.5m时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑． 解：根据机械能守恒定律可列方程m1gh?2
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m r m1 图2.35 h m1 12m1v?2
212I??2
212kh，
2其中I = mr/2，ω = v/r，可得2m1gh – kh = m1v + mv/2， 解得v?
2.36 均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度ω绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2．B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动．放置后，A轮的重量由B轮支持．略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素为μ，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？ 解：圆轮A对B的压力为 N = M1g，
两轮之间的摩擦力大小为 f = μN = μM1g， 摩擦力对A的力矩大小为MA = fR1 = μM1gR1， 摩擦力对B的力矩大小为MB = fR2 = μM1gR2，
设A和B的角加速度大小分别为βA和βB，转动惯量分别为IA和IB，根据转动定理得方程MA = IAβA，即 βA = MA/IA．
同理可得βB = MB/IB．
当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度v，A的角速度为ωA = v/R1， B的角速度为ωB = v/R2．
根据转动运动学的公式得ωA – ω = -βAt，ωB = βBt，
即 v/R1 – ω = -βAt，v/R2 = βBt，化得 v - ωR1 = -βAR1t，v = βBR2t， 将后式减前式得ωR1 = (R1βA + R2βB)t， 解得
?R1?R1 t? ?R1?A?R2?BR1MA/IA?R2MB/IBR1?M1gR1R2?M1gR2?1122M1R1M2R222?M2R1经过的时间为t?．
2?g(M1?M2)?2m1gh?khm1?m/22= 1.48(m·s-1)．
O A R1 B R2 ?R1??R12?g?2?gM1/M2
[注意]在此题中，由于A、B两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律．
2.37 均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为ω0，转动时受到空气的阻力．阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k．试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半．设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m．
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a r O dS 图2.37 b r