发布时间 : 星期六 文章高中数学经典例题及跟踪训练 圆方程及其应用更新完毕开始阅读
（1）若圆的方程(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)确定圆心时，易错误确定圆心为(a,b)；
（2）忽视二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圆的条件为D?E?4F?0，使问题的解决建立在纸上谈兵上；
（3）忽视圆方程中两个x，y变量范围，往往会使问题造成多解． V．举一反三·触类旁通 考向1 构成圆的方程的条件
【例1】【2018湖北省黄冈中学高三上第一次周测】点A(1,0)在圆x2?y2?2ax?a2?3a?3?0上，则a的值为 （ ） A．1 B．?2 C．1或?2 D．2或?2 【答案】B
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【易错提醒】对于含有参数的二次的方程Ax2?By2?Dx?Ey?F?0是否表示一个圆，是须有条件限制的，即必须满足A?B?0，且D?E?4AF?0． 【跟踪练习】
1．【2018贵州遵义航天高级中学高三上学期第四次模拟】在直角坐标平面内，过定点P的直线l:ax?y?1?0与过定点Q的直线m:x?ay?3?0相交于点M，则MP?MQ的值为 （ ）
2222A．10 B．10 C．5 D．10 2【答案】D
【解析】∵在平面内，过定点P的直线ax?y?1?0与过定点Q的直线x?ay?3?0相交与点M，∴P(0，1)，Q(?3，0)，∵过定点P的直线x?ay?3?0与过定点Q的直线x?ay?3?0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上，∵PQ?9?1?10，∴MP?MQ?10，故选：D．
点睛：（1）当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． （2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
（3）在求直线方程时，如求与直线Ax?By?C?0平行的直线方程可设为Ax?By?m?0，与直线
22Ax?By?C?0垂直的直线方程可设为Bx?Ay?m?0，代入条件求出m即可．
2．【2018武汉华中师大一附上期末】已知方程x2?y2?2(m?3)x?2(1?4m2)y?16m4?9?0表示一个圆，则该圆的半径r的取值范围横 ． 【答案】0?r?47． 7【解析】要使方程表示圆，则
4m(?23?)22?4m(12?4m)4?4，(即?161?m?1，74m2?2m4?23?6?4m43?2m46?4m?647?m?36m6?1?00，解得?，整理得
r?1473164(m?3)2?4(1?4m2)2?4(16m4?9)??7m2?6m?1＝?7(m?)2?，∴0?r?． 2777考向2 圆的方程求法
【例2】【2018湖南永州模拟】已知?ABC的三个顶点的坐标分别为A??2,3?,B??2,?1?,C?6,?1?，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为 （ ）
222222A．x?y?1 B．x?y?4 C．x?y?162222 D．x?y?1或x?y?37 5【答案】D
【方法归纳】求圆的方程主要有两种方法：（1）直接法：就是根据条件直接分别求出圆心(a,b)和半径r；（2）待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得a,b,r或
D,E,F．
【例3】【2018内蒙古包头市模拟】过三点O?0,0?,M?1,1?,N?4,2?的圆的方程为__________． 【答案】?x?4???y?3??25
2【解析】设圆的方程为?x?a???y?b??r，其中r?0，将O,M,N坐标分别代入a2?b2?r2①，
2222?1?a?2??1?b??r2②，?4?a???2?b??r2③，分别将①代入②，③得1?2a?1?2b?0，
22222216?8a?4?4b?0，化简a?b?1,2a?b?5，所以a?4,b??3,r?a?b?2，5所以圆的方程是
?x?4?2??y?3??25．
2【例4】【2018江苏兴化楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校12月联考】经过点?2，0?且圆心是直线x?2与直线x?y?4的交点的圆的标准方程为________． 【答案】?x?2???y?2??4
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【跟踪练习】
1．【2018辽宁沈阳四校协作体高三联考】已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x?4y?4?0 与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A．x2?y2?2x?3?0 B．x2?y2?4x?0 C．x2?y2?2x?3?0 D．x2?y2-4x?0 【答案】D
【解析】设圆心坐标为C（a，0）（a＞0），由题意得，
3a?0?49?16?2，解得a=2．
∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即x2?y2-4x?0，故选：D．
2．【2018黑龙江大庆大庆十中、二中、二十三中、二十八中第一次联考】已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程（ ）
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116 【答案】B
【解析】由题可知A??4,?5?，B?6,?1?，则以线段AB为直径的圆的圆心为：???4?6?5?1?即?1，?3?，，?，22??2半径为?6?4????1?5?222?29，故以线段AB为直径的圆的方程是?x?1???y?3??29，故答案选B．
23．【2018云南玉溪质检】圆C与直线x?y?0及x?y?4?0，都相切，圆心在直线x?y?0上，则圆C的方程为___________．
【答案】?x?1???y?1??2 【解析】设圆心坐标为?a,a?，则有
22a?a2?a?a?42，解得a?1，则r?2a2?2，所以圆C的方程为
?x?1?2??y?1??2．
2考向3 圆中的最值、范围问题
【例5】【2018山东省临沂模拟】已知点A??2,?1?，B?1,?5?，点P是圆C： ?x?2???y?1??4上的动点，则?PAB面积的最大值与最小值之差为___________． 【答案】10
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【方法点拨】求与圆相关的最值问题，通常利用两种方法：（1）将已知条件与所求问题充分展示在图形上，利用图形的直观性来解决；（2）根据条件得到关于某一个几何量的函数，通过求函数的最值来处理． 【跟踪练习】
1．【2018重庆巴蜀中学模拟】已知圆C:(x?3)2?(y?1)2?1和两点A(?t,0),B(t,0)(t?0)，若圆C上存在点
P，使得?APB?90?，则t的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D
【解析】由题意得C的圆心为C(3,4)，半径为r?1．因为圆心到原点的距离为OC?2，所以圆C上的点到原点O的距离的最大值为3，又由?APB?90?，可得以AB为直径的圆与圆C有交点，所以t?1，故选D． 2．【2018安徽皖南八校高三第二次（12月）联考】已知直线l平分圆C:x?y?6x?6y?2?0的周长，且直线l不经过第三象限，则直线l的倾斜角?的取值范围为（ ）
???????????????90，13590，12060，13590，150A．? B． C． D．????????
22【答案】A
【解析】圆C:x2?y2?6x?6y?2?0的标准方程为?x?3???y?3??16，故直线l过圆C的圆心?3,?3?，
???90,135因为直线l不经过第三象限，结合图象可知， tan???1 ， ?????，故选A．
223．【2018陕西西安上学期质检】已知直线x?y?k?0(k?0)与圆x?y?4交于不同的两点A,B,O是坐标原
22????????4????点，且有OA?OB?AB，那么k的取值范围是
3A．
???3,?? B．??2,?? C．?2,22 D．?3,22
????【答案】C