发布时间 : 星期六 文章1-例题和习题 - 图文更新完毕开始阅读
20rn?? ? n?1rn?1n 13201431[答案]
n(n?1)n?(?1)2?x????n?1ax ?i??i?1?50?4??0 1n?1n xaa?aaxa?a例15 计算n阶行列式 Dn? aax?a ?????aaa?x34n?1= n+1 ?2?????23n 112?12例13 计算n阶行列式Dn? 3. ?2???n?1n?(n?1)[分析] 此行列式的特点是：各行(列)元素之和相等. 可将第2,3…,n列(行)都加到第一列(行)上，对第1列(行)提取公因子后，再化为三角形行列式. 或者，利用主对角线上下的元素皆为a的特点，将第一行乘以(－1)并加至其它各行，化为爪形行列式计算. 解一 将第2,3…,n行都加到第一行上，并对第一行提取公因子 [分析] 型的行列式可看作是 的变形，可通过逐行的倍加运算，将主对角线以上的元素化为零. 解 自倒数第2行开始往上，每行加后行， 1?2?3???n2?3???n 3???n(i?n?1,n?2,?,1)?nri?ri?1? (?1)n?1(n?1)!1ar1?(r2?r3?...?rn)Dn [x?(n?1)a]? a1xa1ax???1aa ?????aaa?x?2??(n?1)?1Dn 将第一行乘以(－a)加到其它各行， 1上式 [x?(n?1)a]?(i?2,3,...,n)ri?2r11x?a1x?a?1 ?x?a2 123?n11例14 计算n阶爪型行列式Dn? 1. 1??11? [x?(n?1)a]?(x?a)n?1 解二 将第1行乘以(-1)并加至其它各行， xri?r1aax?a?a[分析] 称为爪型或箭型，可利用主对角元，通过 r1+kri或c1+kci (i=2, 3, …, n)运算，将其化为 或 . a?xx?aDn a?x(i?2,3,...,n)a?xa?x再将各列都加至第一列， ?x?a1?2?3???n23?n解 Dn (i?2,3,...,n)c1?ci11?1x?(n?1)aax?aax?a?a 上式 (i?2,3,...,n)c1?ci ?x?a?2?n(n?1) 2? [x?(n?1)a]?(x?a)n?1 注 对于以上关于 型行列式的例题，它们的翻转、旋转等形式，可循类似的思路进行计算.
a1a2?an?1an?xx?x ???例16 已知xi?a (i=1,2,?,n)，证明： x1aa?aax2a?aaax3?a?????aann?a?????(xi?a) a?1???xi?a?i?1i?1???xn [练习7] 计算n阶行列式Dn?xx?x[分析] 用第一行(列)乘以(－1)并加至其它各行(列)，即可化为爪形行列式. x1证 Dn a?x1(i?2,3,...,n)?ax2?aax3?a?a 再将第一列加到后面各列 (注意，这样做是根据行列式的什么特点？) ?1?10?2?2??200?2??2??00000 ?0n?1ri?r1a?x1?xn?aa?x1 由于xi?a，将第i行(i=2, 3, …, n)乘－a/(xi－a)加到第一行上，得 x1?(x1?a)?D? ai?2xi?aa?x1a?x1?a?x1n?1(i?2,3,?,n)??1ci?c1?0????2nn?12n?32n?4? ?(?1)?(?2)n?2(n?1)?(?1)n?1(n?1)2n?2 x2?ax3?a?xn?a [练习
9] 计算(n?2)阶行列式Dn?det(aij), 其中
aij?max(i,n?j?1) , (i,j?1,2,?,n) [提示] 依题意，有
nnDn?n?1?n?1?332212n?a?? ?x1?(x1?a)???(x2?a)?(x3?a)?(xn?a) x?a??i?2i??nn?x1a???? ??(x?a) ?x?a?x?a??i1ii?2??i?1nn?1?333
??????nn?1?n?1n?1n?1nn?nnn在副对角线及其上方，各行的对应元素相同. 从第一行开始，前行
nn?a????1???(x?a) ???ix?aii?1??i?1减后行，即ri-ri+1 (i=1, 2, …, n-1)，可将副对角线以上元素全化为0，即得公式(1-4)的形式. 或者，也可利用副对角线下方相邻列元素相同的特点计算.
(n?1)(n?2)2(?1) x?1[练习8]. 计算4阶行列式
1x?111?1?1x?1?11111?x.
[答案] ?n
?1?1?1⑷ 分块法
若行列式是公式(1-5)和(1-6)所示的分块三角形，或者容易变换成这种形式，则可用分块法计算. 注意公式中的A和B必须是“行数=列数”的数表.
234例18 计算 00345004560?20078100120[提示] 利用各行元素之和相等的特点进行计算，或者化为爪型. [答案] x4.
例17 计算(n?2)阶行列式Dn?det(aij), 其中aij?i?j (i,j?1,2,?,n)。 [分析] 此行列式的特点是：在主对角线上方或下方，相邻行(列)中的对应元素相差1. 这种行列式可通过逐行相减的方式：从第一行(列)开始，前行(列)减后行(列)，或者，从最后行(列)开始，后行(列)减去前行(列)，将主对角线以上或以下的元素化为相同的数，然后再计算. 解 依题意，行列式为 011021?n?2n?1?n?3n?29123?1000 0000000000000?3?40[分析] 该行列式可分块为*A的形式，其中 BO?11A?12123于是可利用公式(1-6)进行计算. 1111210?n?4n?3Dn? ??????n?2n?3n?4?01n?1n?2n?3??1?1?1(i?1,2,?,n?1)??1ri?ri?11?1?1??1111?1??10??，B??4?2?3 ?11 ?????111013?4?解 D?(?1)?121234(4?1)3!?(?1)2?1?2?3?4 n?1n?2n?3???(?1)?(?2)?(?3)?(?4) ?144 [练习10] 用分块法计算“练习6”中的行列式.
解二 当n?3时，将第1列乘以(-1)并分别加到后面各列，得 1?x1y1x1(y2?y1)ci?c11?x2y1x2(y2?y1)Dn?(i?2,3,?,n)?1?xny1xn(y2?y1)?x1(yn?y1)?x2(yn?y1)=0 ???xn(yn?y1)x1[练习11] 用分块法计算行列式
0x20y4y10x300y20x4
0y30(第2,?,n列两两成比例) [提示] 对换第2,3行，再对换第2,3列，然后分块计算 [答案] (x1x3?y1y3)(x2x4?y2y4) ⑸ 拆分法
若行列式的某些行(列)为几个数之和，则可以考虑将行列式按这些行(列)拆分为几个行列式之和，前面的例8采用的就是拆分法. 特别是，当每个元素都是两数之和时，行列式可拆分为2个行列式之和，在某些情况下，这个2个行列式中有很多等于零，那些不等于零的行列式也很容易计算.
a?bb?cc?aabc例19 证明 b?cc?aa?b?2bca. c?aa?bb?ccabn
n
当n=2时，D2?(x2?x1)(y2?y1) a1?b1[练习12] 用拆分法计算Dn?a1?b2?a1?bn(n?2)
a2?b1a2?b2?a2?bn????an?b1an?b2?an?bn[答案] 当n=2时，D2?(a1?a2)(b1?b2)
当n?3时，Dn=0
a1?b例21 计算n阶行列式Dn?a2?a2?anan(n?2) a1?a1a2?b?[分析] 等号左端，每列可看作为两个子列之和，各列取两个子列之一，可将该行列式分解为 2=8个行列式之和. 左端行列式中，子列1-(2)和2-(1)相同，2-(2)和3-(1)相同，3-(2)又和1-(1)相同. 因此，在拆分所得的8个行列式中，只有两个可能不为零，即，各列都取第1子列，或都取第2子列 [其它情形下行列式中都有两列相同，从而等于零]. 证 对于左端行列式，每列取子列之一，可拆分为2=8个行列式之和，其中只有两个可能不为0，即 33???an?b[分析] 把原行列式表示成如下形式 a1?ba2?0a?0a2?bDn?1??a1?0a2?0?an?0?an?0 ???an?b各列的第一子列成比例. 将行列式拆分为2个行列式之和，这些行列式中可能不为零的有n+1个，即全取第二子列，或者除了某一列取第一子列，其余的都选第二子列. a1?ba2?0a1?0a2?b解 Dn???a1?0a2?0?an?0?an?0 ???an?bna?bb?cc?ac?aa?bb?cabccabbcaabcb?cc?aa?b?bca?cab (再将第二个行列式的第3列依次和左边的两列作相邻对换) abccab abccababccab?bca?(?1)2bca ?2bca bb? (n?2) a1b?ba1b ?a1b?a1bb?b?ba2a2a2b?a2ananban ??an?b 1?x1y11?x1y2?1?x1yn例20 计算n阶行列式Dn?1?x2y11?x2y2?1?x2yn????1?xny11?xny2?1?xnyn[分析] 该行列式的特点是：任意两列(行)的第一子列(行)相同、第二子列(行)成比例. 解一 当n?3时，将行列式按列拆分，得2个行列式之和，其中每个行列式都至少有两列相同或成比例，故Dn=0. 当n=2时，D2?1?x1y11?x1y21?x2y11?x2y2?1x1y21x2y2?x1y11x2y11nn?1n?1n + ?? ?b?(a1b??a2b???anbn?1)?b?bnn?1?ai i?1n?(x2?x1)(y2?y1) [说明] 从计算步骤可以看出，Dn=0的结论只有在n?3时才成立. 计算n阶行列式时，要特别留心Dn的结果是否能用一个表达式统一表示，否则，应分开讨论. [练习13] 用拆分法计算“练习8”中的行列式.
[练习14] 用拆分法解“练习4”.
⑹ 降阶展开法 - 行列式按行(列)展开法则
利用行列式的性质，将行列式的某行(列)元素尽可能多地化为零，然后将行列式按该行(列)展开，从而变成n-1阶行列式的计算，这称为降阶展开法，也是最常用的计算方法之一.
解 按第1行展开，得 a?abD2n?a?ba?aa2n?1阶bbb?(?1)2n?1b?ba?abaa???b5例22 计算4阶行列式 273?6?24?341 a2n?1阶?4?27?8?10?5[分析] 对于数字行列式，常用的计算方法是化为上(下)三角行列式或者用降阶展开法，这里采用降阶展开法. 解 先将第3行元素尽可能多的化为零，再按该行展开 5?4?27?3c1?2c4?1116?34c2?3c44?5?184 1c3?4c40001?8?10?53710?5273?6?24 ?a2D2n?2?(?1)2n?1(?1)2nb2D2n?2 ?(a2?b2)D2n?2 于是，递推可得 D2n?(a2?b2)D2n?2 ?(a2?b2)2D2n?4 ???(a2?b2)n?1D2 ?(a2?b2)n ?1116按第3行展开3?4 (?1)?1?4?5?18 3r2?4r1[注] 本题也可按如下方式给出递推公式 abbaaD2nri?ri?1ci?ci?1(i?n,n?1,?3)(i?n,n?1,?3)710?1116r3?3r1按第1列展开396 ? 0396 ?26?80?26?8b?abba??a? 提取公因子13212 3?(?2)? ? 3?(?2)?13? ??156 13414[注] 展开时注意不要遗漏了代数余子式的符号. [练习15] 用降阶展开法计算“练习6”中的行列式. [提示] 按最后一行(列)展开.
b?(a2?b2)D2n?2 a1[练习16] 用降阶展开法计算
0b300b10
00b4a2b2a300a4a?bab1a?bab例24 计算n阶三对角行列式 Dn? 1a?b???ab1a?b[分析] 三对角行列式按第一行(列)或最后一行(列)展开，可建立递推公式. 解 按最后一行展开，有 [提示] 按第一行(列)展开后分块计算. [答案] (a2a3-b2a3)(a1a4-b1b4) ⑺ 递推法
当n阶行列式的结构具有重复性时，可通过按某行(列)展开，得出它的线性递推公式，然后递推出结果.
aa??abba?bb?aa bba?bab1a?b? D n ?(a?b)Dn?1 ???ab1a?b01abn?1阶再将右端的第二个n-1阶行列式按最后一列展开，有 D n ?(a?b)Dn?1 ?abDn?2 例23 计算2n阶行列式 把递推公式重新写成， D n ?aDn?1?b(Dn?1 ?aDn?2) 继续递推下去， D n ?aDn?1?b(Dn?1 ?aDn?2) ?b2(Dn?2 ?aDn?3) ??? [分析] 将行列式按第1行(列)展开，得两项之和，并进而建立递推公式. ?bn?2(D2 ?aD1)