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第一章 行列式
? 要点和公式 ?
1 全排列及其逆序数、对换
? 排列的逆序数=各元素的逆序数之和.
(一个元素的逆序数是指排在其前面并且大于它的元素个数) ? n个元素所有排列的种数Pn=n!，其中奇、偶排列各占一半。 ? 一次对换改变排列的奇偶性。 2 行列式
? n阶行列式的定义： ? ( ? 1) t a 1 p1 a 2 p 2 ? a np n 或 ? ( ? 1 )t a p 1 a p 2 ? a p 12nn或 ? ( ? 1 )t1
? t 2 a p a 1q1p2q2? a p nqn? 行列式的性质： ⑴ D=D
T
??ri?rj (ci?cj) ? D反号?⑵ ??ri?k (ci?k) ? D?k?[或,行列式某行(列)的公因子可提到行列式符号外面]
???ri?krj (ci?kcj) ? D不变⑶ 以下都是行列式等于零的充分条件：
①两行(列)完全相同； ②某一行(列)的元素全为零； ③两(列)的元素对应成比例.
⑷ 若行列式的某一行(列)元素都是两数之和，则行列式可分解为两个行列式之和. ? 行列式按行(列)展开法则
?nnaikAjk?D?ij 或 k?1?akiAkj?D?ij
(i=1,2,…,n)
k?1(其中??1, i?jij??，D是原行列式的值)
?0, i?j? 重要的特殊行列式
⑴ 对角行列式 / 上三角行列式 / 下三角行列式
?1?2???1?2??n (1-1)
?na11a21?a1na11a22?a2n???a12a22????a11a22?ann (1-2)
annan1an2?ann⑵
?1?n(n?1)2??(?1)2?1?2??n (1-3)
?na11?a1,n?1a1na1na21?a2,n?1an(n?1)12n???a2,n?????(?1)2a1na2,n?1?an1 (1-4) an1an1?an,n?1ann⑶ 分块对角行列式 / 分块上三角行列式 / 分块下三角行列式
AOOB?A*AOOB?*B?A?B (1-5) ⑷
OA?*A?OABOBOB*?(?1)kmA?B (1-6) 以上两式中，A、B分别是k阶、m阶行列式. ⑸ 范德蒙德行列式
111?1x1x2x3?xnx12x22x32?x2n??n(xi?xj) (1-7)
?????1?j?i?nx1n?1xn2?1x3n?1?xnn?13 克拉默法则和有关定理
? 克拉默法则: 对于n个变量n个方程的线性方程组
??a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2n 简记为?????????????aijxj?bi (i=1,2,…,n)
?j?1?an1x1?an2x2???annxn?bn.若系数行列式D?0，则方程组有唯一解：
xDj?jD (i=1,2,…,n)
其中Dj是用方程组的常数项b1, b2, …, bn替换系数行列式D的第j列得到的行列式。
? 定理：对于非齐次．．．
线性方程组 ?naijxj?bi (i=1,2,…,n)
j?1⑴ 方程组有唯一解 ? 系数行列式D?0； ⑵ (等价命题) 方程组无解或有多组解 ? D=0. ? 定理：对于齐次．．
线性方程组 ?naijxj?0 (i=1,2,…,n)
j?1⑴ 方程组只有零解?系数行列式D?0；
⑵ (等价命题) 方程组(除零解外)有非零解 ? D=0.
? 典型题型 ?
1 全排列的逆序数、奇偶性
计算n元排列的逆序数的常用方法是：算出排列中每个元素前面比它大的元素的个数(即每个元素的逆序数)，这些元素的逆序数之和就是所求排列的逆序数.
判断排列的奇偶性的常用方法有两种：
方法一：算出排列的逆序数，若逆序数为奇数，则为奇排列；若逆序数为偶数，则为偶排列；
方法二：将所给排列进行对换，使其变成标准排列(偶排列)，若所需对换次数为奇数，则为奇排列；若所需对换次数为偶数，则为偶排列. (因为每次对换都会改变排列的奇偶性) 例1 计算排列134782695的逆序数，并判断奇偶性 解二 分别求出行标排列和列标排列的逆序数 t1 (234516)=4 t2 (312645)=4 由于t1+t2=8，故该项带正号 例5 写出五阶行列式中包含因子a13a25且带负号的所有项 [分析] 设项为(-1)a13a25a3ia4ja5k，显然ijk是124的某个排列，共有六种可能性，其中有三种使乘积带负号，三种使乘积带正号。 不妨设下标ijk = 124，此时，列标排列的逆序数为t(35124)=5，是奇排列，于是该项带负号。 再对124进行两次对换(这不会改变整个排列的奇偶性)，可得ijk的另两组使项带负号的取值: 412, 241。 解 设(-1)a13a25a3ia4ja5k，并令下标ijk = 124，此时列标排列的逆序数为t(35124)=5，是奇排列。再对124进行两次对换，得ijk=412, 241. ijk的这些取值使含a13a25的项带负号，即所求的项为 tt134782695解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 逆序数t(134782695) = 0?0?0?0?0?4?2?0?4 = 10 该排列为偶排列. 例2 以下排列中( )是偶排列。 (A) 4312 (B) 51432 (C) 45312 (D) 654321 [分析] 对于(A)4312，将4和右边的元素进行相邻对换，直至其排在第四位，需3次相邻对换；再将3和右边的元素进行相邻对换，直至其排在第三位，需2次相邻对换. 于是，经过总计5次相邻对换，可使4312变成标准排列1234，因此4312是奇排列。 对其它选项可作类似分析。 解一 四个选项中，只有(C)可通过偶数次对换变成标准排列，答案为(C). -a13a25a31a42a54，-a13a25a34a41a52， -a13a25a32a44a51 [练习2] 写出四阶行列式中所有带负号且包含a23的项. [答案] -a11a23a32a44 -a12a23a34a41 -a14a23a32a41
3x例6 求f(x)?2?41x?1352x221x中x和x的系数. 43?x7x[分析] 从行列式定义的一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能值，并注意每一项的符号. ．．．．．．．．设行列式的一般项为(?1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，求x和x的系数就是分别求有4个以及3个元素含x时的项。 ⑴若4个元素皆含x，各行元素的列标可取如下值： p1: 1 p2: 1, 2 p3: 3 p4: 1, 4 仅当p1p2p3p4= 1234时才能构成四元排列。 ⑵若有3个元素含x，各行元素的列标有以下四种情形 ① ② ③ ④ p1: 2, 3, 4 1 1 1 p2: 1, 2 3, 4 1, 2 1, 2 p3: 3 3 1, 2, 4 3 P4: 1, 4 1, 4 1, 4 2, 3 第一列中的数值可组成两个4元排列：2134, 4231，而表格后三列所示的允许值中都缺少一个数，不能构成4元排列. 434312解二 ????逆序数 t(4321)?0?1?2?2?5 同理，t (51432)=7，t (45312)=8，t (654321)=15. ? 答案为(C). [练习1] 求排列13?(2n-1)24?(2n) 的逆序数, 并讨论奇偶性. [答案] t=n(n-1)/2
当n=4k,4k+1时，为偶排列；n=4k+2, 4k+3时，为奇排列. 例3设排列p1p2?pn-1pn的逆序数为k, 则pnpn-1?p2p1的逆序数为多少？ 2解 在n个元素中任选两个元素pi , pj (共有Cn种可能)，则pi , pj 必2在两个排列之一中构成逆序，因此两个排列的逆序数之和为Cn. 1) a11a44解 4个元素含x的项只有 (? a 33 = 6x4. 22a有3个元素含x的项有两个， t(1234)(?1)t(2134)a12a21a33a44+(?1)t(4231)a14a22a33a41 = 4x-2x4333 n(n?1)?k ? t(pn...p2p1)?2＝2x 3? x和x 的系数分别是6和2. [练习3] 对例6中的行列式f(x)，求
2 求行列式中的项
例4在六阶行列式中，如下的项带什么符号：a23a31a42a56a14a65 解一 调换项中元素的位置，使元素的行标排列变成标准排列，即 a14a23a31a42a56a65 再求出列标排列的逆序数，t(431265)=6，故该项带正号. d3f(x)dx3
2
3
4
[提示] f(x)是x的4次多项式，设f(x)=c0+c1x+c2x+c3x+c4x，则df(x)/dx= 6a3+24a4x，故本题需先求行列式中x和x的系数. [答案]
3
3
4
3
d3x3f(x)?144x?12
x?a11 [练习4] 求f(x)?a12x?a22a32a42a13a23x?a33a43a14a24a34x?a44中x、x的系
4
3
a21a31a41a2?b2?D=1a1b122数以及常数项。
[提示] 行列式中涉及x和x的项只有1项，即主对角线上四个元素的乘积(-1)
2
t(1234)
4
3
c?d2?2c21d21a1bb1cc1cda11 a2b2?c2abc11d2d1a1b1c1d11111a212?b1abccc21d21a1b1c1d11记作11D1?D2 (x?a11)(x?a22)(x?a33)(x?a44)，其余的项至
多含x；而f(x)的常数项就是f(0).
a11a12aa[答案] 1, a11+a22+a33+a44, f(0)?2122a31a32a41a42a13a23a33a43a14a24 a34a44对D1的各行分别提取a,b,c和d，并利用abcd=1,得 a1b1D1 = abcd1a12
3 行列式的性质
a11a12a133a114a11?a12?a13~例7 设D?a21a22a23, 则D?3a214a21?a22?a23 = ( ) a31a32a333a314a31?a32?a33c1d1b21c21d21a1b = 1c1da1b1c1d11a12b21c21d21a21b21c21d21a1b 1c1d1a1b1c1d1c3?c2b2c2?c11c21a21(A) -3D (B) 3D (C) 12D (D) -12D ~对第1,3列提取公因子解一 D 3?(-1)? a214a21?a22a114a11?a12a13a23 a33a31a11?a12c2?4c1 ?3a21?a22a31?a32a13a23 a33a11a12a134a31?a32d2? D= 0. 1a1b1bc3?c4?1c1c1d1da1abcd1111??D2 a11a23 =3D a33[练习5] 设D?a12?a1n?1,
对第2列提取公因子 3 a21a22a31a32a21a22?a2n????an1an2?annannan,n?1?? 答案为(B). ~解二 将D按照第2列拆分为两个行列式之和，得 3a11~D?3a213a314a114a214a31?a13?a333a113a31?a12?a22?a32?a13?a23 ?a33an1~an?1,nan?1,n?1?an?1,1则D?? ? ? ? ( )
????a1na1,n?1?a11?a23?3a21(A) 1 (B) -1 (C) (-1) (D)2
[提示] 将D左右翻转、再上下翻转(或者, 将D依副对角线翻转) 可
~得到D，而左右或上下翻转可通过n(n-1)/2次相邻的列(行)对换实现. [答案] (A)
例9 如果n阶行列式D?det(aij)满足aij??aji, 则称D为反对称行列式, 证明: 奇数阶的反对称行列式等于零. n
上式右端第一个行列式等于零(因为第1,2列成比例)，而第二个行列式的各列分别提取公因子，得 ~D?3?(-1)?(-1) a21a22a31a32 a11a12a13a23?3D a33a2?b2?例8 设abcd=1, 证明行列式1a1b12abcd2c?d2?2c21d21a1b1c1d11=0. 证 aij??aji ? aii??aii ? aii?0(即D的主对角元全为零) 0?a12设D??a13a120?a23??a2na13a220??a1n?a2n?a3n， 则 ??011??a1n?a3n?证 将行列式按第1列拆分为两个行列式之和，即 0D?D?a13?a1nT?a120a23?a2n?a13?a220?a3n?a1n⑶ 利用行列式性质，化为三角形行列式
利用性质将行列式化为三角形行列式是最常用的方法之一. “要点和公式”中的公式(1-5)和(1-6)就是用此法证明的.
其基本步骤是，利用ri+krj (ci+kcj)、提取公因子、ri?rj (ci?cj)等运算，将对角线以下或以上的元素化为零，然后利用公式
a12??a2n??a3n ???00a120?a23??a2na13a220??a1n?a2n?a3n ??0(1-1)~(1-4)计算出结果.
1?3例11 计算五阶行列式D?2341?3解 D?234?1302?94?39?2?14?10?1302?74?39?2?14?101?51 62各行提取(?1)(?1)?a13??a1nn?a12?a3n??(?1)nD ?57?4101?5162由n是奇数，得D = -D，故D=0
4 行列式的计算和证明
计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用. 除了本章介绍的方法，以后还会陆续学习到一些新的方法，平时应注意归纳、整理. 在计算行列式时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察是否能用常用的几种方法. ⑴ 对角线法则，只适用于二、三阶行列式 ⑵ 利用n阶行列式的定义
利用定义计算行列式是最基本的方法。“要点和公式”中的公式(1-1)~ (1-4)就是用定义法证明的. 0a21例10 用行列式的定义计算a3100a12a22a32a42a52a13a23a33a43a530a24a34000a25a35 00?57?4101?12?31r2?3r00?30?2r3?2r1 0204?1 r4?3r10?21?53r5?4r10022?21?1200020?312?3?3401?1?2 1r2?r30 ?0?12020?312201?3401?10r4?r2 ?0?2000?2001?1r3?r4*0 0002000?532?2?31?122?211?1220004?10r4?3r3 0?12r5?2r3?30?2022?20104?11?12 0?3404?611?12?3r4?r5*0 00020001?12?3200004?10r5?4r4 01?120014?2?60004?11?12 0010?62解 根据定义，行列式的一般项为 ( ? 1 ) ta 1 p 1 a 2 p 2 a 3 a 4 p 4 a 5 p 5，当其p3中任一元素为零时，乘积为零. 若不考虑各行元素中的零，各行元素的列标分别可取如下值： p1: 2, 3 p2: 1, 2, 3, 4, 5 p3: 1, 2, 3, 4, 5 p4: 2, 3 p5: 2, 3 上面的这些数值无法使p1p2p3p4p5组成任何一个5元排列 (因为其中的p1, p4, p5只能取2或3)，也就是说，一般项中的5个元素至少有一个为零，故行列式的值等于零. ? 1?2?1?1?2? 4 (注意上面标有*的步骤，其目的是为了避免出现繁琐的分数运算) 2112例12 计算n阶三对角行列式Dn? 11. 2???112[分析] 三对角行列式 可通过逐行(或逐列)的倍加运算，将主对角00[练习6] 用行列式的定义计算
00??021000线以下或以上的元素化成零. 2123010122r2?r1121r3?r12 3 11???1121320?0n?10????? (n?2)
n?2?00000??00000n143111???112解 Dn [答案] 行列式的n！项中只有1项不等于0，即
D?(?1)t[(n?1)(n?2)?21n]a1,n?1a2,n?2?an?1,1an,n(n?1)(n?2)2?(?1)n!