发布时间 : 星期四 文章样条插值及应用深入研究更新完毕开始阅读
学院： 研究生学院 专业： 机械工程 组号： 39 成绩：
(y[j+1]-M[j+1]h[j]^2/6)(x-x[j])/h[j]- (y[j]-M[j]h[j]^2/6)(x-x[j+1])/h[j] Table[S[j],{j,1,2}]; Expand[%]; MatrixForm[%] g1=Plot[%[[1]],{x,2,4}] g2=Plot[%%[[2]],{x,4,6}]
g3=ListPlot[B,Prolog->AbsolutePointSize[15]] Show[g1,g2,g3,Prolog->AbsolutePointSize[15]]
二．《样条插值及应用》方法用哪好？
3.2.1 《样条插值及应用》方法在你所学专业的应用 三次样条曲线在电极挤压机型咀上的应用 1、电极挤压机型咀曲线概述
电极生产中，电极挤压成型的质量是影响电极产品质量的重要因素之一，而电极的挤压成型质量的关键又是型咀的形状。但到底什么样的形状的型咀为最佳呢？这已成为国内外炭素行家研究的重要课题之一。
电极挤压机型咀曲线与配方一样，在国外是保密的，因此，国外对型咀曲线虽做了不少研究，但公布的技术资料却极少，我国目前通用的型咀还是三十多年来惯用的以一段园弧旋转而成的喇叭型，近年来有些炭素行家做过一些研讨，但研讨甚少，本文将以瑞士?500型咀为例进行分析。瑞士?500型咀有关资料为了保密仅仅给出曲线的十个坐标点，其值和编号如表1。为叙述方便，设型咀旋转轴为Z轴，型咀入口端面与纵剖面交线为Y轴,型咀入口端面圆心为坐标原点，设型咀曲线用函数犷Y(Z)?f(Z)来表示，则函数应满足以下条件：
(1)在Z?(Z0~Z9)范围内，函数Y(Z)应是单值函数，并且随Z值的增加而单调下降，即曲线单调下降。
(2)从受力的角度出发，型咀内壁应呈光滑的流线形，即曲线函数f(Z)在Z 变化范围内连续，函数的一阶导数和二阶导数连续。
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(3)函数的计算应简单方便，并便于用计算机进行计算。 表1 瑞士?500电极挤压机型咀曲线上各点的坐标值
Zj 0 65 2.5 55 4.75 9.4 15.7 26.85 31 41.5 27.5 56.45 71.3 83.55 24.5 Yj 47.65 41.20 36.15 25.75 24.85 2、瑞士?500型咀曲线的拟合方法选择
曲线的拟合方法很多，折线法是最简单的方法，它是用一段曲线的弦来近似地表示这段曲线，故误差大，曲线光滑度差，即折线函数有奇点，其一阶导数在两段折线接头处间断。
园弧法也是曲线拟合和外型设计的常用方法之一，我国目前通常使用的型咀就是用单段园弧法设计的。对于瑞士?500型咀，从其十个坐标点的值来看,它不是单段园弧线。若为园弧线，也只能是多段园弧线相切连接，即前一园弧末点与该园心的连线方程与后一园弧起迄点连线的中垂线方程的解就是后一园弧的园心坐标。拟合园弧少于四段不能拟合，若用九段园弧拟合，整个曲线起伏太大而不可取，用四至八段园弧可以拟合，但以五段园弧拟合效果为最好。
样条函数法在近年来对飞机、船舶、汽车和火箭等外形设计及火箭弹道选择计算等问题都有着重要的应用，分段一次函数也就是前面讲的折线函数，它的光滑度差，但也并非高次函数就一定好，且高次函数计算复杂。
样条函数中以三次样条函数应用最为广泛，三次样条函数曲线相当于集中载荷作用下的梁的挠度曲线，在数学上是二阶导数连续的分段三次多项式，它具有良好的力学性质，极大模性质。且三次样条函数满足前面所述型咀曲线函数的三个条件，故用它来作为设计电极挤压机型咀曲线是很适宜的。
此外，用双曲线、抛物线和星形线及指数函数进行拟合，其效果不佳。 3、三次样条函数法及设计计算步骤
用三次样条函数法来设计曲线，只要知道曲线起始点和终点的坐标和其斜率以及曲线中若干点的坐标即可。对于拟合曲线，这些条件是已知的或可根据条件确定。对于设计型咀曲线，这些条件可以根据挤压力学和挤压工艺加以确定。
用三次样条函数法来设计型咀曲线的步骤如下： 设型咀曲线函数为f(Z)，把曲线分为N段，令
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Yj?f(Zj)j?0,1,?,N
则通过点(Zj,Yj),j?0,1,2,?,N的三次样条曲线函数为
f(Z)?Mj?1(Zj?Z)36hj?Mj(Z?Zj?1)36hjMj?1h2Zj?Zj?(Yj?1?)
6hjMjh2Z?Zj?1j?(Yj?)
6hj式中Mj为未知参数（或称为矩)，可由下方程组求得，即
?2M0??0M1?d0???jMj?1?2Mj??jMj?1?dj???NMN?1?2MN?dN(j?1,2,?,N?1)
式中
??hj?1?j?1??i??j?h?hjj?1??h?Z?Zjj?1?j??Yj?1?YjYj?Yj?1?1? d?6????jhj????hj?1?hj?1?hj?6Y?Y0?d0?(1?Y0')h1h1??Y?YN?1'?dN?1(6YN?N)?hhNN?'为P0和PN点的曲线斜率，将上式写成矩阵式则为 Y0'和YN?2???1??????02??1??2?N?1?N??M0??d0???M??d???1??1????????? ??????N?1??MN?1??dN?1?2????MN????dN??4、用三次样条函数对瑞士?500型咀曲线进行拟合计算
若设曲线在起点和终点处的切线倾角为0，则Y0'?0和Y9'?0，故?0?1和?9?0,?0?0和
?9?1。程序设计如下：
Mathematics程序：
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Clear[x,y,a,b,c,M]
{x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]}={0,2.5,4.75,9.40,15.7}; {x[6],x[7],x[8],x[9],x[10]}={26.85,41.5,56.45,71.3,83.55}; {y[1],y[2],y[3],y[4],y[5]}={65,55,47.65,41.2,36.15}; {y[6],y[7],y[8],y[9],y[10]}={31,27.5,25.75,24.85,24.5}; B=Table[{x[i],y[i]},{i,1,10}] y'[1]=0; y'[10]=0;
{h[1],h[2],h[3],h[4],h[5]}={2.5,2.25,4.65,6.3,11.15}; {h[6],h[7],h[8],h[9]}={14.65,14.95,14.85,12.25}; a[j_]:=h[j-1]/(h[j-1]+h[j]); a[10]=1; b[1]=1; b[j_]:=1-a[j];
c[1]=6/h[1]((y[2]-y[1])/h[1]-y'[1]);
c[j_]:=6((y[j+1]-y[j])/h[j]-(y[j]-y[j-1])/h[j-1])/(h[j-1]+h[j]); c[10]=6/h[10-1](y'[10]-(y[10]-y[10-1])/h[10-1]);
A=Table[Switch[i-j,-1,b[j-1],0,2,1,a[j+1],_,0],{i,1,10},{j,1,10}]; MatrixForm[%] CC=Table[c[j],{j,1,10}]; MatrixForm[%] LinearSolve[A,CC]; MatrixForm[%];
M[j_]:=LinearSolve[A,CC][[j]] Table[M[j],{j,1,10}]
S[j_]:=M[j+1](x-x[j])^3/(6h[j])-M[j](x-x[j+1])^3/(6h[j])+ (y[j+1]-M[j+1]h[j]^2/6)(x-x[j])/h[j]- (y[j]-M[j]h[j]^2/6)(x-x[j+1])/h[j] Table[S[j],{j,1,9}];
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