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《样条插值及应用》深入研究
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专业： 机械工程 组号： 成员： 日期：
学院： 研究生学院 专业： 机械工程 组号： 39 成绩：
《样条插值及应用》研究
第一章 对象描述
一．《样条插值及应用》的描述
自上世纪60 年代以来, 由于航空造船等工程设计的需要, 发展了样条插值技术, 现在样条函数越来越流行, 它不仅是现代函数逼近的一个活跃的分支,而且也是现代数值计算中一个十分重要的数学工具。它以各种方式应用到逼近论、数据拟合、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程的数值求解中。在外形设计乃至计算机辅助设计的许多领域,样条函数都被认为是一种有效的数学工具。
设s(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上有一个划分?：
a?x0?x1???xn?b, （1.1）
若s(x)满足如下条件：
(1) s(x)在每区间Ii?[xi?1,xi](i?1,2,?,n)上是m次多项式；
m?1s(x)?C[a,b],即s(x)在[a,b]上有m?1阶连续导数．则称s(x)是关于划分?的(2)函数
一个m次样条函数。
简单地说，样条函数就是由一些具有某些连续性条件的子区间上的分段多项式构成的。 若样条函数s(x)还满足条件：
(3)对给定的某函数在节点上的函数值fi?f(xi)(i?0,1,?,n)，且
s(xi)?fi(i?0,1,2,?,n)， （1.2）
则称s(x)是f(x)关于划分?的一个m次样条插值函数。
二．《样条插值及应用》的相关概念
1.2.1插值法
设函数y?f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点a?x0???xn?b上的值
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f(xi)?yi(i?0,1,?,n)，若存在一简单函数?(x)，使得
?(xi)?yi(i?0,1,?,n) （1.3）
成立，就称?(x)为f(x)的插值函数，点xi(i?0,1,?,n)为插值节点，包括插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数?(x)的方法称为插值法。
插值的任务就是由已知的观测点，为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。常用的插值函数类{?(x)}是代数多项式，相应插值问题是代数插值。 1.2.2 线性样条插值函数
若函数s(x)在[a,b]上连续，且在每个小区间[xi,xi?1]上是一次多项式，其中a?x0?
x1???xn?b是给定节点，则称s(x)是节点x0,x1,?,xn上的一次样条函数．若在节点xi上给定函数值yi?f(xi)(i?0,1,?,n)，并成立
s(xi)?yi,则称s(x)为一次样条插值函数。 1.2.3 二次样条插值函数
i?0,1,?,n （1.4）
若函数s(x)在[a,b]上一阶导数连续，且在每个小区间[xi,xi?1]上是二次多项式，其中
a?x0? x1???xn?b是给定节点，则称s(x)是节点x0,x1,?,xn上的二次样条函数。若在节点xi上给定函数值yi?f(xi)(i?0,1,?,n)，并成立
s(xi)?yi,则称s(x)为二次样条插值函数。 1.2.4三次样条插值函数
i?0,1,?,n （1.5）
若函数s(x)在[a,b]上二阶导数连续，且在每个小区间[xi,xi?1]上是三次多项式，其中
a?x0? x1???xn?b是给定节点，则称s(x)是节点x0,x1,?,xn上的三次样条函数。若在节点xi上给定函数值yi?f(xi)(i?0,1,?,n)，并成立
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s(xi)?yi,则称s(x)为三次样条插值函数。 1.2.5 圆弧样条曲线
i?0,1,?,n （1.6）
在平面上给定有序的n?1个型值点{pi}(i?0,1,?,N)，过每个型值点作一圆弧，使分别过相邻两个型值点的二圆弧，在垂直且平分此二点连线的直线上相交并相切。按这种方法由圆弧连成的整个曲线是连续的且它的切线也是连续变动的，而曲率则分段为常数。这样的曲线称为圆弧样条曲线。 1.2.6 B-样条曲线
在数学的子学科数值分析里，B-样条是样条曲线一种特殊的表示形式。它是B-样条基曲线的线性组合。B-样条是贝兹曲线的一种一般化，可以进一步推广为非均匀有理B样条(NURBS)，使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。 1.2.7 截断函数
m?xm?x??0??x≥0x?0 （1.7）
三．《样条插值及应用》的相关理论
定理1：设y0,y1,…,yn为实数，满足y0?y1,y1?y2,y2?y3, 次插值样条函数
则存在唯一的一个三
s(x)?C2?0,1?和它的一组插值节点x0,x1,…,xn使得：
s(xi)?yis'(xi)?0(n?0,1,…,n)(n?0,1,…,n)0=x0?x1?…?xn?1?xn=1 （1.8）
定理2：关于满足端点条件2M0+?0M1?d0,?nMn?1+2Mn?dn的三次样条函数问题，在适当的选定整数i,k后1≤i≤k≤n-1，当?0，?n满足式
ik?14i4k?1?0?/,?n?/h11h2nn?1n时，那么所要求的三次插值样条函数必存在且唯一。
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（1.9）